1. Частица массы m движется под действием силы

1. Частица массы m движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O,
изменяющейся по закону F = k 2 mr, где r — радиус–вектор точки. В начальный момент
частица находилась в точке M0 (a; 0) и имела скорость v 0 , направленную параллельно оси
Oy. Определить траекторию частицы.
2. Свободная материальная точка M массы m притягивается некоторой неподвижной точкой
A. В результате точка M описывает окружность радиуса a, проходящую через точку A.
Выразить величины силы притяжения и скорости точки как функции расстояния r от движущейся точки до точки A.
3. Нарисовать фазовый портрет матриальной точки, движущейся по прямой под действием
силы с потенциалом: 1) V (x) = x3 − 3x; 2) V (x) = x4 − 2x2 .
4. Найти время движения фазовой точки (ϕ, ϕ̇) математического маятника по сепаратрисе из
положения ϕ1 в положение ϕ2 .
5. Кольцо массы M, надетое на неподвижную гладкую проволочную окружность радиуса r,
плоскость которой вертикальна, может свободно перемещаться по этой окружности. В начальный момент кольцу сообщают скорость v0 . Найти скорость кольца в зависимости от его
положения на окружности, задаваемого углом ϕ между радиусом, проходящим через кольцо и вертикалью; ϕ = 0, когда кольцо находится в нижней точке окружности. Найти также
реакцию связи.
6. Гладкий жёлоб, имеющий форму окружности радиуса r, установлен в вертикальной плоскости. В начальный момент в низшую точку жёлоба кладут шарик и сообщают ему горизонтальную скорость v0 . Какова должна быть скорость v0 , чтобы:
(a) шарик пришёл в круговое движение;
(b) шарик выскочил из жёлоба;
(c) шарик совершал колебательное движения, не отрываясь от жёлоба?
7. В однородном поле силы тяжести по внешней стороне параболы движется без трения материальная точка массы m. В какой точке она покинет параболу, уравнение которой с неподвижной системе координат Oxy c направленной вертикально осью Oy имеет вид y 2 = 2x?
В начальный момент времени точка покоится, а её ордината равна y0 = 2.
8. Шарик массы m под действием силы тяжести скользит без трения по дуге параболы y = ax2 .
Определить давление шарика на параболу в её вершине, если шарик начинает движение без
начальной скорости с высоты h. Ось y направлена вертикально вверх.
9. Колечко может двигаться по вертикальной окружности радиуса R. Коэффициент трения
при этом движении равен f . Какую скорость необходимо сообщить колечку в наинизшей
точке A, чтобы оно достигло точки B — конца горизонтального диаметра окружности?
10. Колечко может скользить по шероховатому (коэффициент трения равен f ) проволочному
круговому кольцу радиуса R, расположенному в горизонтальной плоскости. В начальном
положении колечку сообщили скорость v0 . Найти такое значение v0 , чтобы колечко вернулось
в начальное положение с нулевой скорость.