Функции и окружающий нас мир

Муниципальное
общеобразовательное
«Краснооктябрьская
средняя
бюджетное
общеобразовательная
учреждение
школа»
МО
«Медведевский муниципальный район» Республики Марий Эл
РЕФЕРАТ
по дисциплине «Математика» на тему:
«Функции и окружающий нас мир»
Выполнил: Солоницын Александр
Руководитель: учитель математики
Старикова Галина Александровна
пгт Краснооктябрьский
2012
Оглавление
1. Введение……………………………………………………………… 4
2.1 Из истории развития функции…………………………………….. 5
2.2 Способы задания функций………………………………………….8
2.3 Виды функций и их свойства………………………………………9
2.4 Класс реальных событий, описываемых функциями …………… 9
3. Заключение………………………………………………………….. 13
4. Литература…………………………………………………………… 14
3
«Природа разговаривает с нами на языке математики»
(Галилей).
1.Введение.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее
время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык,
все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Мы
изучили на уроках тему «ФУНКЦИИ». Учитель убеждал, что
функции пришли в нашу жизнь, в предмет математика из
потребностей человека. Мне стало интересно как же функции
описывают реальные процессы в окружающем нас мире, я захотел
больше и глубже понять функциональную работу на службе человека.
Я стал изучать различную литературу по вопросам изучения
свойств функций и их применения. Из просмотренной литературы я
отметил следующее: функции описывают реальные процессы в
окружающем нас мире.
Очень образно заметил великий Галилео Галилей (1564 – 1642
гг.), «Книга природы написана на математическом языке, и ее буквы –
математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно
понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте»
И именно функция является тем средством математического языка,
которое позволяет описывать процессы движения, изменения,
присущие природе.
Поэтому я выбрал тему своей работы «Функции и окружающий нас
мир», поставив перед собой задачи: понять и изучить способы
действия
функций
для
описания
и
объяснения
событий
в
окружающем нас мире. Сформулировал гипотезу «Функциональная
4
зависимость существует во всех сферах нашей жизни» и решил ее
проверить.
2.1. Из истории развития функции.
Впервые функция вошла в математику под именем «переменная
величина» в знаменитом труде французского математика и философа
Рене Декарта «Геометрия» (1637 г.), и ее появление послужило, по
словам Ф. Энгельса, поворотным пунктом в математике. Без
переменных величин И.Ньютон не смог бы выразить законы
динамики, описывающие процессы механического движения тел –
небесных и вполне земных, а современные ученые не могли бы
рассчитывать траектории движения космических кораблей и решать
бесконечное множество технических проблем нашей эпохи.
С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось.
Сейчас оно стало настолько общим, что совпадает с понятием
соответствия.
Таким образом, функцией в общем понимании называется
любой закон (правило), по которому каждому объекту из некоторого
класса, области определения функции, поставлен в соответствие
некоторый объект из другого (или того же) класса – области
возможных значений функции.
Но мы не рассматриваем понятие функции в столь общем
понимании, а считаем, что как независимая, так и зависимая
переменные – это величины. Таким образом функцией называется
зависимость, связывающая с каждым значением одной переменной
величины
(аргумента)
из
некоторой
области
ее
изменения
определенное значение другой величины (функции). Если аргумент
обозначить через х, значение функции - через у, а саму зависимость –
функцию – символом f, то связь между значениями функции и
аргументом запишется так: y=f(x).
5
Вопросами изучения различных функций занимались многие ученые.
Над
аналитическим
определением
функции
Вильгельм фон Лейбниц. Он так
работал
Готфрид
описывал функциональную
зависимость.
Аналитические определение функции
Функция
–
отрезок,
длина
которого
меняется по какому - нибудь определенному
закону.
– впервые ввёл термины «константа» и
«переменная»
Готфрид Вильгельм
фон Лейбниц
Иоганн Бернули ввел основные понятия:
- применил знак для переменной (х),
- впервые сделал подход к описательному
определению аналитической функции
Иоганн Бернули (1667-1748гг.)
Леонард Эйлер
6
Леонард Эйлер работал над совершенствованием функциональной
терминологии: вывел окончательную формулировку определения
функции
Рене Декарт
и
Ферма Пьер ввели понятия
«переменная
величина»,
«прямоугольная система
координат»
Рене Декарт
и
Франсуа Виет.
Заслугой этих ученых является
единая
буквенная математическая
символика: x, y,
z, a, b,
7
2.2.Способы задания функции.
Существуют три основных способа выражения зависимостей
между величинами: табличный, графический и аналитический
(«формульный»).
Табличный способ важен потому, что является основным при
обнаружении реальных зависимостей и может оказаться к
тому же единственным средством их задания (формулу не всегда
удается подобрать, а порой в ней и нет необходимости). К табличному
заданию функции часто переходят при выполнении практических
расчетов, с ней связанных: например, применение таблиц квадратов.
С математической точки зрения, табличное задание зависимостей
всегда неполно и дает лишь информацию о значениях функции в
отдельных точках.
Графический
способ
представления
зависимостей
также
является одним из средств их фиксации при изучении реальных
явлений. График - наглядная картина, дающая возможности анализа и
прогнозирования изучаемой проблемы. Использование графического
способа
задания
функции
позволяет
делать
различные
«самопишущие» приборы, такие, как сейсмограф, электрокардиограф,
осциллограф и т.п., изображающие информацию об изменении
измеряемых величин в виде графиков. Но если есть график, то значит,
определена и соответствующая ему функция. В таких случаях говорят
о графическом задании функции.
Однако графический способ задания функции неудобен для
расчетов;
к
тому
же,
подобно
табличному,
он
является
приближенным и неполным.
Аналитическое (формульное) задание функции
отличается
своей компактностью, легко запоминается и содержит в себе полную
информацию о зависимости. Функцию можно задать с помощью
8
формулы, например: y=2x+5, S=vt. Эти формулы можно вывести с
помощью геометрических или физических рассуждений.
2.3 Виды функций и их свойства.
К элементарным функциям относятся практически все функции,
встречающиеся в школьном учебнике.
Прежде всего, имеется достаточно представительный набор
широко
известных
и
хорошо
изученных
функций,
которые
называются основными элементарными функциями.
Это функции:
y=C,
называемая константой,
У=кх
прямая пропорциональность
У=кх+в
линейная функция
У=х2
квадратичная
У=х3
кубическая
2.4 Класс реальных событий, описываемых функцией.
Применение функции для расчёта количества обоев.
Задача 1.
Пусть длина стены 10м, а высота 2,5м. В практических задачах высота
стены может меняться.
Значит площадь будет зависеть от высоты. Поэтому для расчета
площади с постоянно изменяющейся высотой удобно обозначить ее
переменной х, и вычисления площади стены проводить по формуле,
S(х)=10∙х- прямая пропорциональность. Тогда и количество рулонов
можно посчитать по формуле
S/10 - количество рулонов.
А вот другая задача!
Задача 2.
Пусть нужно покрыть плиткой - мозаикой ванную.
9
Длина стены которой х(м), а высота 3м.
Площадь одной плитки-мозаики 5м2,
то S(х)= 3∙х.
S/5-количество плиток.
Вывод: и здесь нам помогает функция – прямая пропорциональность!
Задача 3.
Для строительства коробки дома на 1 стену требуется 500 шт.
кирпича.
Вычислить
количество
кирпича
для
выкладывания
Х
стен
Y(x)=500x(без учета окон).
Посмотрим другую ситуацию.
Применение функции для вычисления объема
Объем куба равен кубу его ребра.
V=H3
V - объем куба
H - высота ребра куба
Задача 4.
Вычислим объём воды для заполнения бассейна в форме куба, если
длина бассейна 20м, то V=203, и опять если учитывать, что размеры
бассейна могут быть разными, то количество воды помогает считать
кубическая функция.
Если задать длину бассейна переменной х, то
V(x)= x3
Применение функции для вычисления площади.
Рабочие привезли линолеум и хотели его постелить в комнате,
имеющей форму квадрата.
Так как пол комнаты имел форму
квадрата, значит его стороны равны,то было достаточно было
измерить одну сторону. Длина одной стороны равна 3м; значит,
другие стороны тоже будут 3м; Так как пол комнаты квадратный, то
10
будет удобнее количество линолеума по формуле y=x². А вот и до
квадратичной функции дело дошло!
Применение функции для вычисления пройденного пути
Мотоциклист находится от пункта А на расстоянии 20 км. На каком
расстоянии от п. А он будет находится через t ч, если скорость
мотоциклиста 50 км/ч? S-?
S=50t+20, где t>0. В этой ситуации работу ведет
линейная функция.
Функции нам помогают и для изучения различной
информации, требуемой для решения жизненных вопросов.
Таблица стоимости поезда.
Представлена таблица стоимости проезда в пригородном транспорте,
где
n – номер зоны;
m – стоимость проезда.
n зависит от m или m от n?
Так как чем больше номер зоны, тем больше проезд, то n независимая
переменная, а m – зависимая. Здесь прямая пропорциональность.
Функции помогают анализировать различные процессы. Рассмотрим
демографическую ситуацию нашего поселка. Я ею заинтересовался ,
потому что в нашей школе нет спортивного зала. Речь идет о
необходимости строительства новой школы, но будут ли для нее
ученики!
Изучая статистику по численности населения (граф.2) и естественный
прирост
населения нашего поселка (граф.1),в котором я живу,
работая с цифровой информацией, я с уверенностью могу сказать, что
новое здание будет востребовано!
Информацию я задал графиками.
11
Численность населения
5200
5170
количество человек
5150
5100
Ряд1
5050
5030
5000
4950
1
2
годы
Рис. 1
количество рожденных
Рож даемость
62
61
60
59
Ряд1
58
57
56
55
1
2
годы
Рис. 2
Анализ информации, заданной графиками, говорит о том, что
численность населения поселка уменьшается, а рождаемость
растет.
Но,
исследуя
вопрос,
я
проводил
опрос
руководителей нашей администрации. Выясняется, что
данные по уменьшению количества населения верны только
по постоянно прописанным жителям поселка, а с временной
регистрацией населения много и люди едут в поселок в
поисках работы. Значит, можно сделать вывод о том, что и
жилье в поселке тоже надо строить. Радуются люди, вот
12
недавно сдали под ключ новый дом, есть жилье у
погорельцев! Но, конечно, этого мало. Вот как советует
решать вопросы в жизни
графическая интерпретация
исследуемой проблемы.
Функции применяются и для изучения различных вопросов
народного хозяйства. Рассмотрим вопрос изучения потребительского
спроса на продукцию.
X-количество покупателей
200 рублей - цена 1-ой пары лыж.
Р(х)=200 ∙ х
Отследить анализ потребительского
спроса нам поможет прямая пропорциональность. Чем
больше
выручка,
тем
больше
спрос
на
указанную
продукцию.
13
Заключение.
Заканчивая свою работу, я увидел, что каждая из изученных
функций
решает, описывает, дает определенную информацию о
каком-то реальном процессе, происходящем в нашей с вами жизни.
А график является портретом функции, поэтому функцию можно
назвать поистине красавицей.
Функции и их свойства, особенности – это набор инструментов,
который необходим в познании окружающего мира. И этим
инструментом необходимо владеть в совершенстве, чтобы познавать,
развивать и изменять нашу жизнь. Я должен был доказать, что
функциями описываются многие события в жизни. Проверяя
гипотезу, я научился анализировать изучаемую информацию, делать
выводы, и, поэтому, могу объяснить смысл, причины и важность
изучения функций и их свойств в школьном курсе математики.
Я открыл для себя область интересов по изучению, чтению
информации,
заданной
различными
способами.
Естественно, занимаясь описанными вопросами,
у меня
повысилась математическая культура, я ответственнее
стал относится к изучаемым вопросам математики.
14
Список литературы.
Коганов Э.Д. 400 самых интересных задач. Москва. 1997. 278 с.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра. Москва. 2000 . 199 с.
Токарчук Н.П. «Красавицы функции и их графики». Москва. 1900
г. 47 с.
http://www.bymath.net/studyguide/fun/sec/fun9.htm
http://www.ok-interiordesign.ru/
http://www.svetliygrad.ru/
15