Определение и необходимые условия экстремума функции

Определение и необходимые условия экстремума функции
нескольких переменных
Определение: Пусть функция f (x1 , x2 , . . . , xn ) определена в некоторой
окрестности точки x0 (x01 , x02 , . . . , x0n ). Говорят, что функция f (x1 , x2 , . . . , xn )
имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая
окрестность точки x0 , в которой для всех x 6= x0 выполняется неравенство
f (x) ≤ f (x0 )
(f (x) ≥ f (x0 ))
(1)
Если для всех x 6= x0 из некоторой окрестности точки x0 выполняется строгое
неравенство f (x) < f (x0 )
(f (x) > f (x0 )), тогда точка x0 называется точкой
строгого максимума (минимума) функции.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума,
а значения функции в этих точках - экстремумами функции.
Теорема:(необходимое условие экстремума) Если точка x0 (x01 , x02 , . . . , x0n )
∂f
(x ) = 0,
является точкой экстремума функции f (x1 , x2 , . . . , xn ), то либо
∂xi 0
∂f
либо
(x ), (i = 1, 2, 3 . . . , n) не существует.
∂xi 0
Если функция f (x1 , x2 , . . . , xn ) имеет в точке x0 локальный экстремум и
дифференцируема в этой точке, то частичные производные по всем переменным
в этой точке равны нулю:
∂f
∂f
∂f
= 0;
= 0; · · · ;
=0
∂x1
∂x2
∂xn
(3)
Точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (3),
называют точками, подозрительными на экстремум (или точками
возможного экстремума). Точки экстремума функции следует искать
среди точек, подозрительных на экстремум.
Некоторые сведения о квадратичных формах
Функции вида Q(x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) =
n
P
aij xi xj , где aij - числа, причём
i,j=1
aij = aji , называется квадратичной формой от переменных x1 , x2 , . . . , xn . Числа
aij называются коэффициентами квадратичной формы, а составленная из этих
1
коэффициентов симметричная матрица


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..
.. . .
..  ,
 .
. . 
.
an1 an2 . . . ann
называется матрицей квадратичной формы.
Определители
¯
¯
¯
¯ a11 . . . a1n ¯
¯
¯
¯
¯ a
a ¯
δ1 = a11 , δ2 = ¯¯ 11 12 ¯¯ , . . . , δn = ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ ,
a21 a22
¯ an1 . . . ann ¯
называются главными минорами матрицы A.
Квадратичная форма Q(x1 , x2 , . . . , xn ) называется положительно
определённой (отрицательно определённой), если для любых значений
переменных x1 , x2 , . . . , xn , одновременно не равных нулю, она принимает
положительные (отрицательные) значения.
Критерий Сильвестра:
1) Для того, чтобы квадратичная форма Q(x1 , x2 , . . . , xn ) была
положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все главные
миноры её матрицы были положительны: δ1 > 0, . . . , δn > 0.
2) Для того, чтобы квадратичная форма Q(x1 , x2 , . . . , xn ) была отрицательно
определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных её миноров
чередовались образом: δ1 < 0, δ2 > 0, δ3 < 0, δ4 > 0, . . ..
Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных
Рассмотрим второй дифференциал функции f (x1 , x2 , . . . , xn )
x1 , x2 , . . . , xn - независимые переменные) в точке x0 (x01 , x02 , . . . , x0n ):
n
X
∂ 2 f (x0 )
2
dxi dxj
d f (x0 ) =
∂xi ∂xj
i,j=1
(где
(4)
Это
выражение
является
квадратичной
формой
относительно
дифференциалов независимых переменных dxi . Матрица, составленная из
коэффициентов этой квадратичной формы, будет выглядеть следующим
образом:

 2
∂ 2 f (x0 )
∂ f (x0 )
...
∂x1 xn 
 ∂x21


...
...
...
(5)
F =


 2
∂ f (x0 )
∂ 2 f (x0 )
...
∂x1 xn
∂x2n
2
Теорема:
Пусть
функция
f (x1 , . . . , xn )
дважды
непрерывно
0
0
0
дифференцируема в окрестности точки x0 (x1 , x2 , . . . , xn ) подозрительной
на экстремум. Тогда точка x0
1) является точкой минимума функции, если второй дифференциал положительно определённая квадратичная форма, т.е. в этой точке все главные
миноры матрицы F положительны;
2) является точкой максимума, если второй дифференциал - отрицательно
определённая квадратичная форма, т.е. в матрице F все главные миноры
чётного порядка положительны, а все главные миноры нечётного порядка
отрицательны;
3) не является точкой экстремума, если второй дифференциал неопределённая квадратичная форма, т.е. хотя бы один из определителей
чётного порядка меньше нуля.
Условный экстремум
Пусть на множестве G ⊂ Rn заданы функции
f (x),
ϕ1 (x),
...,
ϕm (x),
m<n
(6)
и пусть E- множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:
ϕ1 (x) = 0, . . . , ϕm (x) = 0
(7)
Уравнение (7) называют уравнениями связи (или ограничениями). Точку x0 ∈
E называют точкой условного максимума (условного минимума) функции f (x)
относительно уравнений связи (7), если существует такая окрестность точки
x0 , что для всех точек x 6= x0 , удовлетворяющих уравнениям связи, верно
неравенство f (x) < f (x0 ) (f (x) > f (x0 )).
Точки условного максимума и минимума называют точками условного
экстремума. Значения функции в этих точках называют условными
экстремумами.
Метод исключения нахождения точек условного экстремума
Пусть есть функция f (x1 , x2 , . . . , xn ), уравнения связи:
ϕi (x1 , . . . , xn ) = 0,
3
i = 1, 2, . . . , m.
(8)
Если уравнение связи удаётся разрешить относительно каких-то m
переменных, например, относительно переменных x1 , x2 , . . . , xm , т.е.
x1 = g1 (xm+1 , . . . , xn ); . . . ; xm = g(xm+1 , . . . , xn ),
то исследование функции f (x1 , . . . , xn ) на условный экстремум при
ограничениях (8) сводится к исследованию на обычный экстремум функции
n − m переменных xm+1 , . . . , xn : f (g1 , . . . , gm , xm+1 , . . . , xn ).
Метод Лагранжа нахождения точек условного экстремума.
Необходимые и достаточные условия существования условного
экстремума
Пусть функции f (x), ϕi (x), i = 1, . . . , m, x ∈ Rn , m < n непрерывно
дифференцируемы в окрестности точки x0 и ранг матрицы Якоби


∂ϕ1 (x)
∂ϕ1 (x)
...
∂xn 
 ∂x1


.
.
.
.
.
.
...


∂ϕm (x)
∂ϕm (x)
...
∂x1
∂xn
m
P
в этой точке равен m. Тогда функцию L(x) = f (x) +
λi ϕi (x) называется
i=1
функцией Лагранжа, параметры λ1 , . . . , λm - множители Лагранжа.
Необходимые условия: Для того, чтобы точка x0 являлась точкой
условного экстремума функции f (x), x = (x1 , . . . , xn ), при уравнениях связи
ϕi (x), i = 1, . . . , m необходимо, чтобы её координаты при некоторых значениях
λ1 , . . . , λm удовлетворяли системе уравнений

∂L(x0 )


= 0, k = 1, . . . , n,
∂xk


ϕi (x0 ) = 0, i = 1, . . . , m.
Достаточные условия: Пусть функции f (x), ϕi (x), i = 1, . . . , m, x ∈ Rn
дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0 и пусть в этой
точке выполняется необходимые условия существования условного экстремума
функции f (x). Тогда, если при выполнении условий
dϕi (x0 ) =
n
X
∂ϕi (x0 )
k=1
∂xi
dxk = 0,
n
X
dx2k > 0
(10)
k=1
2
второй дифференциал d L(x0 ) функции Лагранжа является положительно
(отрицательно) определённой квадратичной формой, то функция f (x) в точке
x0 имеет условный минимум (максимум).
4