Статистическая обработка данных

Статистическая
обработка данных
Статистика
(лат. «status») состояние дел
это отрасль знаний,
в которой излагаются общие вопросы сбора,
измерения и анализа массовых статистических
(количественных или качественных) данных;
изучение количественной стороны массовых
общественных явлений в числовой форме.
3, 5
5, 3
3, 2
2, 4
4, 3
3, 3
3, 3
3, 4
4, 5
5, 3
3, 3
3, 3
3, 4
4, 4
4, 3
3, 4
4, 3
3
кол ─ во
результатов
10
, , , , , , , , , , , , , , , , ,
1
Гистограмма
Многоугольник
распределений
10
5
2
результат
2
3
4
5
количество
результатов
1 10
5
2
5
2
1
0
2
3
4
5
результат
результат
2
3
4
5
количество
результатов
1 10
5
2
200°
20°
Круговая
360° = 20°
диаграмма
∙ 360° = 200°
«2»:
1
∙
18
«3»:
10
18
«4»:
5
∙
18
360° = 100°
«5»:
2
∙
18
360° = 40°
40°
100°
"2"
"3"
"4"
"5"
Этапы статистической обработки данных
1. Упорядочить и
сгруппировать
данные измерения
2. Составить таблицу
распределения данных
3. Построить графики
распределения данных
4. Получить паспорт данных
измерения
объём, размах, мода измерения,
среднее (или среднее арифметическое)
результат
2
3
4
5
количество
результатов
1 10
10 5
5
1
22
‒ объём измерения
1 + 10 + 5 + 2 = 18
‒ размах измерения
5−2=3
‒ мода измерения
3
‒ среднее
2∙1+3∙10+4∙5+5∙2
18
≈ 3,4
результат
варианта
2
3
4
5
количество
кратность
результатов
1 10
5
2
3, 5
5, 3
3, 2
2, 4
4, 3
3, 3
3, 3
3, 4
4, 5
5, 3
3, 3
3, 3
3, 4
4, 4
4, 3
3, 4
4, 3
3
, , , , , , , , , , , , , , , , ,
𝟑
ряд данных
сгруппированный
ряд данных
Средняя варианта — медиана измерения.
Пример:
На уроке физкультуры 14 школьников прыгали в высоту, а учитель записывал их
результаты: 125, 110, 130, 125, 120, 130, 140, 125, 110, 130, 120, 125, 120, 125.
Получить сгруппированный ряд данных и таблицу распределения.
Найти объём, размах, моду, среднее и медиану измерения.
Решение:
130 130, 130, 140
110,
110 110, 120
120, 120, 120, 125
125, 125, 125, 125, 125, 130,
2
варианта
кратность
3
5
110 120 125 130 140
3
2
5
3
1
2
3
5
3
1
3
1
среднее:
110∙2+120∙3+125∙5+130∙3+140
≈14123,93
объём: 2 + 3 + 5 + 3 + 1 = 14
мода: 125
размах: 140 − 110 = 30
медиана: 125
≈
110 120 125 130 140
варианта
кратность
2
3
5
3
1
кратность
5
3
2
1
0
110 115 120 125
130
140
варианта
кратность варианты
Частота варианты =
объём измерения
варианта
кратность
частота
110 120 125 130 140
2
1
7
2
14
3
3
14
3
14
5
5
14
5
14
3
3
14
3
14
1
1
14
1
14
сумма
14
1
кратность варианты
Частота варианты =
объём измерения
кратность варианты
Частота варианты в процентах =
∙ 100%
объём измерения
варианта
110 120 125 130 140
сумма
кратность
2
3
5
3
1
14
частота
1
7
3
14
5
14
3
14
1
14
1
7,2
100%
частота, % 14,3 21,4 35,7 21,4
Пример:
кратность
Составить
таблицу распределения данных
и таблицу распределения частот.
8
7
6
5
4
3
2
1
варианта
𝑎
𝑏
𝑐
Решение:
𝑑
𝑒
𝑓
𝑔
ℎ
варианта
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑔
ℎ
сумма
кратность
7
5
3
6
4
8
2
4
39
частота
7
39
частота, %
18
5
39
13
3
6
8
2
4
4
39 39 39 39 39 39
7,7 15,4 10,2 20,4 5,1 10,2
1
100
На испытательном стенде оружейного завода
пристреливают готовые ружья, т.е. уточняют и корректируют их прицел.
Выстрелы
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
Ружьё А
+1,0
+1,0
+2,0
+1,5
+2,0
+2,0
+1,5
+1,5
+0,5
+1
Ружьё Б
+1,0
0
−1,5
+1,5
−0,5
−1,5
+2
+1,0
−1,0
+2,0
Среднее для ружья А:
1 + 1 + 2 + 1,5 + 2 + 2 + 1,5 + 1,5 + 0,5 + 1
= 1,4
10
Среднее для ружья Б:
1 + 0 − 1,5 + 1,5 − 0,5 − 1,5 + 2 + 1 − 1 + 2
= 0,3
10
А
Б
Числовую характеристику данных измерения,
отвечающую за разброс данных вокруг среднего значения,
называют дисперсией.
𝝈 = 𝐷 — средним квадратическим отклонением.
Алгоритм вычисления дисперсии:
1. среднее значение 𝑀 =
𝑥1 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
;
𝑛
2. отклонение данных от 𝑀: 𝑥1 − 𝑀, 𝑥2 − 𝑀, … , 𝑥𝑛 − 𝑀;
3. квадраты отклонений: 𝑥1 − 𝑀 2 , 𝑥2 − 𝑀 2 , … , 𝑥𝑛 − 𝑀 2 ;
4. 𝐷 =
𝑥1 −𝑀 2 + 𝑥2 −𝑀 2 +⋯+ 𝑥𝑛 −𝑀 2
𝑛
𝜎= 𝐷
𝐷
𝐷𝑥𝑥𝑖=
−0,24
𝑀2
𝑀
𝑖−
𝜎 ≈ 0,5
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
результат
+1,0
+1,0
+2,0
+1,5
+2,0
+2,0
+1,5
+1,5
+0,5
+1
отклонение
квадрат
отклонения
−0,4
−0,4
0,6
0,1
0,6
0,6
0,1
0,1
−0,9
−0,4
0,16
0,16
0,16
0,16
0,36
0,36
0,01
0,01
0,36
0,36
0,36
0,36
0,01
0,01
0,01
0,01
0,81
0,81
0,16
0,16
Выстрелы из ружья А (среднее: 1,4)
0,16 + 0,16 + 0,36 + 0,01 + 0,36 + 0,36 + 0,01 + 0,01 + 0,81 + 0,16
𝐷 = 0,24 ⟹ 𝜎 = 0,24 ≈ 0,5
10
𝐷𝑥𝑥𝑖=
−1,71
𝑀2
𝑀
𝑖−
𝜎 ≈ 1,31
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
результат
+1,0
0
−1,5
+1,5
−0,5
−1,5
+2
+1,0
−1,0
+2,0
отклонение
квадрат
отклонения
0,7
−0,3
−1,8
1,2
−0,8
−1,8
1,7
0,7
−1,3
1,7
0,49
0,49
0,09
0,09
3,24
3,24
1,44
1,44
0,64
0,64
3,24
3,24
2,89
2,89
0,49
0,49
1,69
1,69
2,89
2,89
Выстрелы из ружья Б (среднее: 0,3)
0,49 + 0,09 + 3,24 + 1,44 + 0,64 + 3,24 + 2,89 + 0,49 + 1,69 + 2,89
𝐷 = 1,71 ⟹ 𝜎 = 1,71 ≈ 1,31
10
Выстрелы из ружья А (среднее: 1,4)
𝐷 = 0,24
𝜎 ≈ 0,5
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
результат
+1,0
+1,0
+2,0
+1,5
+2,0
+2,0
+1,5
+1,5
+0,5
+1
отклонение
квадрат
отклонения
−0,4
−0,4
0,6
0,1
0,6
0,6
0,1
0,1
−0,9
−0,4
0,16
0,16
0,36
0,01
0,36
0,36
0,01
0,01
0,81
0,16
Выстрелы из ружья Б (среднее: 0,3)
𝐷 = 1,71
𝜎 ≈ 1,31
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№10
результат
+1,0
0
−1,5
+1,5
−0,5
−1,5
+2
+1,0
−1,0
+2,0
отклонение
квадрат
отклонения
0,7
−0,3
−1,8
1,2
−0,8
−1,8
1,7
0,7
−1,3
1,7
0,49
0,09
3,24
1,44
0,64
3,24
2,89
0,49
1,69
2,89
Этапы статистической обработки данных
1. Упорядочить и
сгруппировать
данные измерения
2. Составить таблицу
распределения данных
3. Построить графики
распределения данных
4. Получить паспорт данных
измерения
объём, размах, мода измерения,
среднее (или среднее арифметическое)
Каждое значение, полученное в ходе измерений,
называют вариантой.
Число повторений данной варианты,
называют её кратностью.
кратность варианты
Частота варианты =
объём измерения
кратность варианты
Частота варианты в процентах =
∙ 100%
объём измерения
Числовую характеристику данных измерения,
отвечающую за разброс данных вокруг среднего значения,
называют дисперсией.
𝝈 = 𝐷 — средним квадратическим отклонением.
Алгоритм вычисления дисперсии:
1. среднее значение 𝑀 =
𝑥1 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛
;
𝑛
2. отклонение данных от 𝑀: 𝑥1 − 𝑀, 𝑥2 − 𝑀, … , 𝑥𝑛 − 𝑀;
3. квадраты отклонений: 𝑥1 − 𝑀 2 , 𝑥2 − 𝑀 2 , … , 𝑥𝑛 − 𝑀 2 ;
4. 𝐷 =
𝑥1 −𝑀 2 + 𝑥2 −𝑀 2 +⋯+ 𝑥𝑛 −𝑀 2
𝑛
𝜎= 𝐷
𝐷