Интеграл Стилтьеса Томас Стилтьес Бернхард Риман a=x_0

Интеграл
Стилтьеса
Томас Стилтьес
Бернхард Риман
Можно принять в качестве аксиом свойство приращений моментов:
Приращение момента пропорционально приращению массы, и потому
приращение на интервале, составленном из конечного числа меньших
интервалов, складывается из приращений на этих последних.
Таким образом, если подразделить интервал 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 точками деления
a=x_0<x_1<x_2<⋯<xN=b,
𝜑=𝑁
𝐹 𝑎, 𝑏 =
𝐹(𝑥𝜑−1 , 𝑥𝜑 )
𝜑=1
общее значение 𝐼 называется интегралом Стилтьеса функции 𝑓(𝑥) с
интегрирующей функцией Ф(𝒙), взятым в пределах от a до b, что
обозначается так:
𝑏
𝐼=
𝑓 𝑥 𝑑Ф(𝑥)
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) =
1
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 =
2
𝑎
𝑏
𝑏
𝑓1 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 +
𝑎
𝑓2 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 ,
𝑎
𝑏
𝛼𝑓 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 = 𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 , ∀𝑎 ∈ ℝ
𝑎
𝑏
𝑓
𝑎
𝑐
𝑓
𝑎
𝑏
𝑓
𝑐
3
При 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 имеем
4
Если 𝑓 ′ 𝑥 и 𝑢(𝑥) интегрируемы по Риману, то имеет место
следующее правило интегрирования по частям:
𝑥 𝑑𝑢(𝑥) =
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑢 𝑥 |𝑏𝑎 −
𝑎
𝑥 𝑑𝑢 𝑥 +
𝑓 ′ 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑥,
𝑎
Основные свойства
𝑥 𝑑𝑢(𝑥)
I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо,
чтобы 𝑓(𝑥) была непрерывна во всех точках разрыва 𝑔 (х).
II. Для
интегрируемости 𝑓(𝑥) по 𝑔𝑐 (𝑥) необходимо и
достаточно выполнение следующего условия: при любом
заданном положительном 𝜀 можно покрыть точки разрыва
непрерывности 𝑓(𝑥) конечным или счетным множеством
промежутков [𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 ] (которые могут и перекрываться)
так, что имеет место неравенство
[𝑔𝑐 𝑏𝑘 − 𝑔𝑐 (𝑎𝑘 )] ≤ 𝜀,
𝑘
Существование интеграла
Геометрический смысл
𝑏
𝑆
𝑓 𝑡 𝑑𝑔 𝑡
𝑎
𝑥 = 𝑔 𝑡 ,𝑦 = 𝑓 𝑡
𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 <. . . < 𝑡𝑖 < 𝑡𝑖+1 <. . . < 𝑡𝑛 = 𝑏
𝑠=
𝑚𝑖 Δ𝑔 𝑡𝑖 , 𝑆 =
𝑖
𝑀𝑖 Δ𝑔 𝑡𝑖 .
𝑖
Применение в квантовой
механике
Вычислим интегралы:
π
2
𝑥 2 𝑑ln 1 + 𝑥 ,
𝑆
𝑆
𝑥𝑑sin𝑥 ,
0
2
2
𝑥 2 𝑑ln 1 + 𝑥 = 𝑅
𝑆
0
π
𝑆
0
π
2
= 𝑥sin𝑥 −
𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑅
−1
π
𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 .
−1
2
𝑥
1 2
𝑑𝑥 =
𝑥 − 𝑥 + ln 1 + 𝑥
1+𝑥
2
2
𝑥𝑑sin𝑥 = 𝑅
0
𝑆
𝑆
0
Решение:
1
1
2
𝑥 ⋅ cos𝑥𝑑𝑥 =
0
2
𝑢=𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
2
= ln3
0
𝑑𝑣 = cos𝑥𝑑𝑥
𝑣 = sin𝑥
π
π
π
π
⋅ sin + cos − cos0 = − 1
1
21
2 2 2
2
0 𝑥𝑑𝑥
1
1 𝑑 1+𝑥
1
1
2
=
=
ln
1
+
𝑥
=
(ln2 − ln2) = 0
1 + 𝑥2 2
1 + 𝑥2
2
2
−1
−1
sin𝑥𝑑𝑥 =
Примеры
−1
Вычислить по формуле:
𝑏
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 + 0 − 𝑓 𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑔 𝑥 = =
𝑎
+𝑓 𝑏 𝑔 𝑏
𝑎
∗ =𝑏
𝑥0∗ = 𝑎, 𝑥1∗ , … , 𝑥𝑚
𝑥+2
2
𝑔 𝑥 =
𝑥2 + 3
2
𝑆
𝑥𝑑𝑔 𝑥
−2
Решение:
2
1
𝑔′ 𝑥 = 0
2𝑥
−1
𝑥𝑑𝑔 𝑥 =
−2
- точки разрыва функции 𝑔 и её производной 𝑔′
−2 ≤ 𝑥 ≤ −1,
−1 < 𝑥 < 0,
0 ≤ 𝑥 ≤ 2.
−2 ≤ 𝑥 ≤ −1,
−1 < 𝑥 < 0,
0 < 𝑥 ≤ 2.
2
𝑥 2 𝑑𝑥 + −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 =
𝑥𝑑𝑥 + 2
−2
при
при
при
при
при
при
0
𝑥2
2
−1
−2
2
+ x3
3
2
5
−1=2 .
6
0
Применения интеграла Стилтьеса в
настоящее время уже настолько проникли в
некоторые области математики, физики и
квантовой механики, что достаточно
серьезное изучение этих областей без
интеграла Стилтьеса немыслимо и активно
применяется в теории вероятностей,
теории функций, а так же в
функциональном анализе.