pspd Lab2

Лабораторная работа №2
«Численное интегрирование»
Введение. Для приближенного вычисления определенного интеграла
b
I   f ( x)dx ,
a
могут использоваться квадратурные формулы:
а) левых прямоугольников
N 1
I h  h  f  xi  ,
(1)
i 1
б) правых прямоугольников
𝐼 = ℎ ∑ 𝑓(𝑥 )
(2)
в) центральных прямоугольников
𝐼 = ℎ∑
𝑓
(3)
г) трапеций
 f ( x1 )  f ( xN ) N 1

h
(4)
I  h
  f  xi  ,
2
i 2


д) Симпсона
h
I h   f ( x1 )  4 f ( x2 )  2 f ( x3 )  ...  f ( xN ) ( N – нечетное) (5)
3
е) типа Гаусса
∑
𝐼 =
𝐴 𝑓(𝑥 ), 𝑥 =
𝑡 +
(6)
Здесь 𝑁 – число узлов, для формул (1) – (5) ℎ = (𝑏 − 𝑎)/(𝑁 − 1) – шаг
интегрирования, 𝑥 = 𝑎 + (𝑖 − 1)ℎ – координаты узлов, 𝑖 = 1,2, … , 𝑁.
Параметры квадратурных формул Гаусса приведены в табл. 1.
Табл. 1.
𝑁
𝑡
3 𝑡 =0
𝑡 = −𝑡 =0.7745966692
4 𝑡 = −𝑡 =0.3399810436
𝑡 = −𝑡 =0.8611363116
5 𝑡 =0
𝑡 = −𝑡 =0.5384693101
𝑡 = −𝑡 =0.9061798459
6 𝑡 = −𝑡 =0.2386191861
𝑡 = −𝑡 =0.6612093865
𝑡 = −𝑡 =0.9324695142
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
=8/9
= 𝐴 =5/9
= 𝐴 =0.6521451549
= 𝐴 =0.3478548451
=0.5688888889
= 𝐴 =0.4786286705
= 𝐴 =0.2369268851
= 𝐴 =0.4679139346
= 𝐴 =0.3607615730
= 𝐴 =0.1713244924
Задание. Рассчитать приближенное значение интеграла по заданным
квадратурным формулам, причем для формул (1) – (5) использовать число
узлов 𝑁 =21, 41 и 81. Расчет значений подинтегральной функции 𝑓(𝑥) и
приближенных значений интеграла оформить в виде соответствующих
функций. Формальными параметрами функций для расчета приближенного
значения интеграла должны быть пределы интегрирования 𝑎 и 𝑏, имя
подинтегральной функции 𝑓, число узлов 𝑁. Результаты сравнить со
значениями, полученными с помощью модуля scipy.integrate и в пакете
Mathcad. Сделать вывод о сравнительной точности используемых формул.
Варианты исходных данных приведены в табл. 2.
Табл. 2.
f (x) , [ a , b ]
Методы
e0.3/ x , [2, 1]
2
(1), (5)
№
вар.
2
3
sin(0.5 x 2 ) , [0,1]
(1), (4)
4
ln(1  x 2 ) , [1,3]
5
cos x /(1  x 3 ) , [0,1]
6
2 x 2  3 , [2,3]
7
sin x /( x  2) , [1,3]
(2), (6) при
N=4
(2), (5)
9
e 0.1/ x , [1,2]
11
sin( x x ) , [0, 2]
13
sin 3 (1 / x) , [2,3]
15
2cos(0.2 x 2 ) , [0,1]
17
e x / x 3  3 , [1, 2]
19
4cos(0.02 x 3 ) , [0,1]
21
№
вар.
1
(1), (6) при
N=5
(2), (6) при
N=5
(3), (6) при
N=4
(1), (3)
8
10
f (x) , [ a , b ]
Методы
2 x / 2 x 2  1 , [1, 2]
(3), (6) при
N=6
(1), (6) при
N=3
(2), (4)
esin x , [1, 2]
1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥, [0,/2]
12
e cos(2 x ) , [0,1]
14
x / 3  x 4 , [1, 2]
16
e 0.02 x x , [1, 2]
(2), (6) при
N=4
(5), (6) при
N=6
(4), (5)
(4), (6) при
N=6
(1), (4)
(4), (6) при
N=3
(2), (3)
18
sin(1 / x 2 ) , [2,3]
(3), (5)
20
e1/ x , [1, 2]
(2), (4)
e 0.5x , [0,1]
(2), (5)
22
cos( x 2  1) , [0,1]
(2), (3)
23
√1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥, [0,/2]
(3), (4)
24
, [0,1]
(3), (5)
25
√
(1), (5)
26
27
√𝑒 − 1, [0,ln2]
(3), (4)
28
2
, [1,2]
, [0,1]
√
, [2,3]
(4), (5)
(4), (1)