подведение под знак дифференциала

Методы нахождения
неопределенного интеграла.
Подведение под знак
дифференциала.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Методы нахождения неопределенных интегралов
 Таблица дифференциалов
 Подведение под знак дифференциала
Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
 Непосредственное интегрирование
 Подведение под знак дифференциала
 Метод подстановки (замена переменной)
 Интегрирование по частям
 Простейшие преобразования подынтегрального выражения
 Метод неопределенных коэффициентов
Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Подведение функции под знак дифференциала
Под знаком дифференциала можно сформировать нужное выражение и
свести интеграл к табличному.
Метод подстановки (замена переменной)
Проводят замену переменной, руководствуясь следующим критерием:
хороша только та подстановка, которая приводит к более простому интегралу, чем
исходный. Применяется при взятии интегралов от иррациональных,
тригонометрических функций.
Метод подстановки
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
функции
Основной приём интегрирования – замена переменной (универсальная
тригонометрическая подстановка)
Интегрирование иррациональных функций (корни)
Основной приём интегрирования – замена переменной, избавляющая от
всех корней в подынтегральной функции
Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)
Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)
Простейшие преобразование подынтегрального выражения
• тригонометрические формулы
• выделение целой части
• выделение полного квадрата
• выделение дифференциала
Неопределенные интегралы
(приёмы интегрирования)
Метод неопределенных коэффициентов
(интегрирование рациональных дробей)
Из курса школьного алгебры вспомнить:
 правильная / неправильная дробь
 разложение дроби на простые множители
 рациональная дробь
Из курса «Линейная алгебра» вспомнить:
• Решение систем линейных уравнений
В конечном итоге интегрирование правильных рациональных дробей
сводится к интегрированию простейших дробей
Подведение под знак
дифференциала
Существует большой класс интегралов, в которых можно под знаком
дифференциала сформировать нужное выражение и свести интеграл к
табличному.
Подведение под знак дифференциала – это внесение под знак
дифференциала
постоянного
слагаемого,
функции, либо того и другого вместе
df x = f ′ x dx
постоянного
множителя,
Подведение под знак
дифференциала
Внесение постоянного слагаемого
d x + a = x + a ′ dx = x ′ dx = dx
⇒
dx = d x + a
, где a = const
Под знак дифференциала к переменной интегрирования можно
прибавить любое число a, нужное в данной ситуации (выгодное)
𝑥 + 2 5 𝑑𝑥 =
𝑥 + 2 5𝑑 𝑥 + 2 =
табличный интеграл
𝑡 5 𝑑𝑡
Подведение под знак
дифференциала
Внесение постоянного множителя
d Cx = Cx ′ dx = Cdx
⇒
1
dx = d(Cx)
C
При введении под знак дифференциала множителя C, необходимо перед
знаком интеграла поставить коэффициент 1/C
1
cos 7𝑥 𝑑𝑥 =
7
1
cos 7𝑥 𝑑 7𝑥 =
7
cos 𝑡 𝑑𝑡
табличный интеграл
Подведение под знак
дифференциала
Внесение функций
Таблица производных
Таблица интегралов
d x 2 = x 2 ′ dx = 2xdx
⟹ таблица дифференциалов
⇒
1
xdx = d x 2
2
Конкретные примеры разберем на данном занятии
Примеры
1.
𝑥𝑑𝑥
3 + 𝑥2
cos 𝑥
2.
1 + 5 sin 𝑥
𝑑𝑥
3.
8 − 4𝑥 2
𝑑𝑥
Вебинары «Интегральное исчисление». Февраль 2014 г.
№
3
Тема вебинара
Интегрирование по частям
Дата проведения
27.02.14 в 14:30
(время московское)
На вебинар №3:
 Ознакомиться с презентацией:
Электронный курс:
Математика. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]
[email protected]