сложные интегралы - Томский государственный
реклама
Сложные интегралы. Шульц Денис Сергеевич План занятия. Методы нахождения неопределенных интегралов (обобщение) Примеры решений нестандартных интегралов Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование Подведение под знак дифференциала Метод подстановки (замена переменной) Интегрирование по частям Метод неопределенных коэффициентов Методы интегрирования. Подведение функции под знак дифференциала Под знаком дифференциала можно сформировать нужное выражение и свести интеграл к табличному. 𝑥𝑑𝑥 3 + 𝑥2 cos 𝑥 1 + 5 sin 𝑥 𝑑𝑥 Методы интегрирования. Метод подстановки (замена переменной) Проводят замену переменной, руководствуясь следующим критерием: хороша только та подстановка, которая приводит к более простому интегралу, чем исходный. Применяется при взятии интегралов от иррациональных, тригонометрических функций. 3 𝑥+ 𝑥+ 𝑥 1+3 𝑥 𝑥2 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥+2 𝑥+5 𝑥2 + 1 𝑑𝑥 2 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 3 Интегралы от тригонометрических функций Интегралы 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥; Указания 𝑠𝑖𝑛4 𝑥𝑑𝑥 Применяют формулы понижения степени: 1 + cos 2𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 2 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 𝑑𝑥 1 − cos 2𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 = 2 2 sin x, cos x входят в подынтегральное выражение только в чётных степенях 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥; 𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥; 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑑𝑥 4 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Подведение под знак дифференциала: sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑 cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑 sin 𝑥 В числителе sin x или cos x в нечётной степени cos 2𝑥 ∙ sin 5𝑥 𝑑𝑥 ; Используются формулы, переводящие sin 3𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 произведения тригонометрических функций разных аргументов в суммы (или разности) Методы интегрирования. Интегрирование по частям Метод используется при интегрировании выражений, представляющих собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на показательную или тригонометрическую функцию, обратные тригонометрические функции, логарифмические и т.д.) UdV UV VdU Методы интегрирования. Метод неопределенных коэффициентов (интегрирование рациональных дробей) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑑𝑥 𝑥2 + 𝑥 𝑥2 + 1 4𝑥 2 + 16𝑥 − 8 𝑑𝑥 3 𝑥 − 4𝑥 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑑𝑥 2 𝑥 − 1 𝑥 − 6𝑥 + 8 Примеры 1. Замена переменной + интегрирование по частям 2. Сведение интеграла к самому себе 3. Дроби 4. Тригонометрические функции без универсальных подстановок Примеры 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3 𝑒 6𝑥 − 1 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1 2−𝑥 𝑑𝑥 3𝑥 + 1 𝑡𝑔4 2𝑥𝑑𝑥 Примеры для самостоятельного решения Пример 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1 Ответ 2𝑒 𝑥 𝑥−1 +𝐶 2 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶 −2𝑙𝑛 cos 𝑥 + 𝐶 1 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 − ln + + 𝑥 2 𝑥 Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г. Вебинар №8: определенный интеграл (примеры решений) Спасибо за внимание!!! Шульц Денис Сергеевич Кафедра прикладной математики и информатики Факультет дистанционного обучения Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники [email protected] [email protected]
