Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Системы линейных уравнений.
Метод Крамера.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
2. Совместная и несовместная система
3. Алгоритм исследования СЛАУ
4. Методы решения совместной определенной системы
Рассмотрим пример:
Решение системы методом Крамера.
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
M(1,3)
N(-2,5)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
M(1,3)
N(-2,5)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
N(-2,5)
M(1,3)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
⇒
𝑘 − −2𝑘 = 3 − 5
⇒
3𝑘 = −2
⇒
𝑘=−
2
3
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
N(-2,5)
M(1,3)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
⇒
𝑘 − −2𝑘 = 3 − 5
⇒
3𝑘 = −2
⇒
𝑘=−
2
3
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
N(-2,5)
M(1,3)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
2
− +𝑏 =3
3
⇒
⇒
𝑘 − −2𝑘 = 3 − 5
11
𝑏=
3
⇒
3𝑘 = −2
⇒
𝑘=−
2
3
Понятие системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ).
СЛАУ – это система, в которой все неизвестные
входят в уравнения в первой степени.
Пример:
N(-2,5)
M(1,3)
Записать уравнение прямой, проходящей через две эти точки в виде: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
2
− +𝑏 =3
3
⇒
⇒
𝑘 − −2𝑘 = 3 − 5
11
𝑏=
3
⇒
3𝑘 = −2
2
11
𝑦=− 𝑥+
3
3
⇒
𝑘=−
2
3
Системы линейных
алгебраических уравнений в
общем виде.
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Обозначения:
m – число линейных уравнений
n – число неизвестных
𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 - неизвестные
𝑎11 , 𝑎12 , … 𝑎𝑚𝑛 – коэффициенты при неизвестных
𝑏1 , 𝑏2 … 𝑏𝑚 – свободные члены
Системы линейных
алгебраических уравнений в
общем виде.
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Пример:
Обозначения:
m – число линейных уравнений
n – число неизвестных
𝑥1 , 𝑥2 … 𝑥𝑛 - неизвестные
𝑎11 , 𝑎12 , … 𝑎𝑚𝑛 – коэффициенты при неизвестных
𝑏1 , 𝑏2 … 𝑏𝑚 – свободные члены
𝑘+𝑏 =3
−2𝑘 + 𝑏 = 5
СЛАУ с равным количеством
уравнений и неизвестных
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Если m=n=3, то система уравнений запишется таким образом:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
Алгоритм исследования СЛАУ.
Теоремы.
Теорема Кронекера-Капелли:
система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда РАНГ
ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ = РАНГУ РАСШИРЕННОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ
Теорема:
если основная матрица системы квадратная и её определитель ≠ 0, то
данная система совместна
Система линейных
алгебраических уравнений.
совместная
несовместная
Имеется хотя бы одно решение
определенная
решение единственное
Нет решений
неопределенная
Если ранг основной матрицы ≠ рангу
расширенной матрицы системы
решений больше одного
(множество решений)
Определитель основной матрицы
системы = 0
Определитель основной матрицы
системы ≠ 0
Если ранг основной матрицы = рангу
расширенной матрицы = r,
при этом r = n (числу неизвестных)
Если ранг основной матрицы = рангу
расширенной матрицы = r,
при этом r< n (числа неизвестных)
Совместная определённая
система.
Для системы с равным количеством неизвестных и уравнений:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
𝑎11
Если определитель основной матрицы системы: 𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 ≠ 0,
𝑎33
то система имеет единственное решение (совместная определённая)
Совместная неопределённая/
/несовместная система
Если m=n=3, то система уравнений запишется таким образом:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑏3
𝑎11
Если определитель основной матрицы системы: 𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
то система не имеет решений (несовместная)
или имеет множество решений (совместная неопределённая).
𝑎13
𝑎23 = 0,
𝑎33
Методы нахождения единственного
решения совместной определённой
системы.
• Матричный метод
(для нахождения неизвестных системы нужно решить матричное уравнение,
т.е. найти обратную матрицу основной матрицы системы и выполнить
операцию умножения с матрицей, составленной из свободных членов
уравнений системы)
Методы нахождения единственного
решения совместной определённой
системы.
• Матричный метод
(для нахождения неизвестных системы нужно решить матричное уравнение,
т.е. найти обратную матрицу основной матрицы системы и выполнить
операцию умножения с матрицей, составленной из свободных членов
уравнений системы)
РОЛИК: матричный метод.flv
ОБМЕН ФАЙЛАМИ
Методы нахождения единственного
решения совместной определённой
системы.
• Матричный метод
(для нахождения неизвестных системы нужно решить матричное уравнение,
т.е. найти обратную матрицу основной матрицы системы и выполнить
операцию умножения с матрицей, составленной из свободных членов
уравнений системы)
• Метод Крамера
(задача заключается в вычислении определителя основной матрицы системы
и определителей матриц, полученных из основной матрицы заменой
соответствующих столбцов свободными членами)
Методы нахождения единственного
решения совместной определённой
системы.
• Матричный метод
(для нахождения неизвестных системы нужно решить матричное уравнение,
т.е. найти обратную матрицу основной матрицы системы и выполнить
операцию умножения с матрицей, составленной из свободных членов
уравнений системы)
• Метод Крамера
(задача заключается в вычислении определителя основной матрицы системы
и определителей матриц, полученных из основной матрицы заменой
соответствующих столбцов свободными членами)
• Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)
(расширенную матрицу системы приводят к равносильной системе
ступенчатого вида (или треугольного вида) путём преобразований над
строками)
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
2. Вычисляем определители:
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
2. Вычисляем определители:
18
𝐷1 = 29
18
2 2
2 3
1 2
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
2. Вычисляем определители:
18
𝐷1 = 29
18
2 2
2 3
1 2
1 18
𝐷2 = 3 29
2 18
2
3
2
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
2. Вычисляем определители:
18
𝐷1 = 29
18
2 2
2 3
1 2
1 18
𝐷2 = 3 29
2 18
2
3
2
1 2
𝐷3 = 3 2
2 1
18
29
18
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
2. Вычисляем определители:
18
𝐷1 = 29
18
2 2
2 3
1 2
1 18
𝐷2 = 3 29
2 18
2
3
2
3. Найти неизвестные 𝑥, 𝑦, 𝑧 системы по формулам:
1 2
𝐷3 = 3 2
2 1
18
29
18
Метод Крамера.
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 18
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 29
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 18
1. Найти определитель основной матрицы системы:
1
𝐷= 3
2
2 2
2 3
1 2
2. Вычисляем определители:
18
𝐷1 = 29
18
2 2
2 3
1 2
1 18
𝐷2 = 3 29
2 18
2
3
2
1 2
𝐷3 = 3 2
2 1
3. Найти неизвестные 𝑥, 𝑦, 𝑧 системы по формулам:
𝑥=
𝐷1
𝐷
𝐷2
𝑦=
𝐷
𝑧=
𝐷3
𝐷
18
29
18
Вебинары «Линейная алгебра и
аналитическая геометрия». Апрель 2013 г.
№
Тема вебинара
7
Решение совместных определенных систем
методом Гаусса
8
Решение совместных неопределенных систем
9
Системы линейных однородных уравнений
Дата проведения
04.04.13 в 14:30
(время московское)
16.04.13 в 14:30
(время московское)
25.04.13 в 14:30
(время московское)
ОБЩИЙ-НОВОСТИ-РАСПИСАНИЕ ВЕБИНАРОВ:
http://fdo.tusur.ru/forum/index.php?showtopic=5832
ДИСЦИПЛИНЫ-МАТЕМАТИКА-ЦИКЛ ВЕБИНАРОВ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
http://fdo.tusur.ru/forum/index.php?showtopic=7008
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]