Методы решения систем линейных уравнений

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL
Система т линейных уравнений с п неизвестными (или линейная система) в
линейной алгебре — это система уравнений вида:
Здесь x1, х2, ..., хn - неизвестные, которые надо определить; a11, a12, ..., атп коэффициенты системы; b1, b2, ... bт - свободные члены (предполагаются
известными). Индексы коэффициентов аij системы обозначают номера уравнения
(i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных, имеет
много разных вычислительных схем. Рассмотрим схему единственного деления,
алгоритм которого состоит в следующем.
Прямой ход: путем элементарных преобразований строк (делением
элементов строки на число, вычитание из одной строки другой строки,
умноженной на число) матрица системы приводится к верхнетреугольному виду.
С этого момента начинается обратный ход. Из последнего ненулевого
уравнения выражаем переменную через другие и подставляем в предыдущие
уравнения. Повторяя эту процедуру для всех переменных, получаем решение [1, с.
111].
Реализуем данный алгоритм для системы трех линейных уравнений с тремя
неизвестными средствами MS Еxcel (расчетные формулы: рисунок 1, таблица
значений: рисунок 2).
2
Рисунок 1
Рисунок 2
3
Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем
линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной
матрицы (причем для таких уравнений решение существует и оно единственно).
Описание метода. Для системы n линейных уравнений с n неизвестными
(над произвольным полем)
с определителем матрицы системы А, отличным от нуля, решение записывается в
виде
где
(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет
решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами
где х1, х2, х3 - корни системы уравнений; Δ - главный определитель системы; Δх1,
Δх2, Δх3 - вспомогательные определители [1, с. 125].
Средствами MS Еxcel правило Крамера можно реализовать следующим
образом (расчетные формулы: рисунок 3, таблица значений: рисунок 4).
4
Рисунок 3
Рисунок 4
Преобразуем рабочие листы с помощью команды меню Сервис –
Параметры. На вкладке Вид убираем сетку, заголовки строк и столбцов, полосы
прокрутки. Защищаем листы паролем (Сервис – Защита – Защитить лист),
предварительно сняв ярлык «Защищаемая ячейка» с тех ячеек, куда вводят
данные.
Теперь
разработанные
шаблоны
готовы
к
использованию
для
автоматизации рутинных «ручных» вычислений.
5
Использованные источники
1. Колдаев, В.Д. Численные методы и программирование: учебное
пособие/В.Д. Колдаев; под ред. проф. Л.Г. Гагариной. – М.: ИД «ФОРУМ»:
ИНФРА-М, 2009. – 336 с.
6