2 a

В помощь учителю
Задачи на нахождение расстояния
между скрещивающимися
прямыми
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
a
a b

b
Если две скрещивающиеся прямые перпендикулярны, то легко построить общий
перпендикуляр.
1. Через одну прямую (a) проводим плоскость, перпендикулярную второй прямой
(b).
2. Из точки пересечения прямой b с построенной плоскостью опускаем
перпендикуляр на прямую a
В основании пирамиды MАВС лежит равнобедренный прямоугольный
треугольник АВС (АС=ВС=4). Ребра МА, МВ и МС равны 8. Найдите
расстояние между прямыми АВ и СМ.
 АВС и AМC – равнобедренные, значит, высота является и медианой.
Прямая АВ перпендикулярна плоскости MCN, а прямая МС лежит в этой
плоскости. Опустим перпендикуляр из точки N на
прямую МС в этой плоскости. NK – искомое
M
расстояние (общий перпендикуляр).
K
8
8
2 14
A
8
4
2 2
N
2 2
4
450
B
Из  CNВ :
NC
sin 450 
;
BC
C
2 NC

;
2
4
4 2
NC 
;
2
NC  2 2 .
Из  NMB :
MB 2  NM 2  NB 2 ;
 
2
8  NM  2 2 ;
2
2
NM 2  64  8;
NM   56 ;
NM  2 14 .
 
 
2
2
2

Найдем высоту  MNС.
 2 14  h  x
2
Составим систему уравнений. 
2
2



2
2

h

8

x

Применили теорему Пифагора для
прямоугольных треугольников СNK и NKM.
2
2
48  64  16 х;

56  h  x
«–»

2
2 16 х  64  48;

8

h

64

16
х

x

16х  112.
Подставим в первое уравнение
х  7.
56  h 2  49;
M
2
h
 56  49;
x
2 14
M
K
8
8
2 14
A
8
C
4
N
2 2
N
2 2
4
450
B
h
К
8
8-x
2 2
С
h 2  7;
h  7;
h  7.
Ответ : NK  7.
a II 
a b
a

b
План решения задачи.
1. Через одну прямую проводим плоскость  , параллельную второй прямой
2. Через вторую прямую проводим плоскость, перпендикулярную к плоскости
3. Из любой точки прямой a опускаем перпендикуляр на линию пересечения
плоскостей.

a
a II 
a b

b
План решения задачи.

1. Через одну прямую проводим плоскость , параллельную
второй прямой

2. Вторую плоскость проводим, перпендикулярно к плоскости
3. Из точки пересечения прямой aсо второй плоскостью опускаем перпендикуляр
на линию пересечения плоскостей.
Иногда эти плоскости не надо строить… их надо найти, они уже есть на чертеже.
Квадрат АВСD со стороной 4 является основанием пирамиды SАВСD.
Грань CDS перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Найдите
расстояние между прямыми SD и BC,если высота пирамиды SM равна 4 и
DM : MC = 3 : 1.
1. Через прямую SD проходит плоскость ADS, параллельная второй прямой СВ (т.к. СВ
II AD, а AD ADS). 
DM
: MC = 3 :SDA
1, тогда
весь через
отрезок
CD как стороны
AD 
DС
2. Плоскость
проходит
перпендикуляр
ADквадрата
к плоскости СDS.
S
–
4 части.
По условию
Значит,
плоскость
SDA сторона
и СDSSM
перпендикулярны.
ABC  SM  AD
квадрата равна 4.
С опускаем перпендикуляр на линию пересечения
СМ = 4:43.= Из
1 (1точки
часть)
DС расстояние.
AD
плоскостей
SD.
СР
–
искомое
 AD SDC
MD = 4:4*3 = 3 (3 часть)

S
AD SM
 углам:
5
Треугольники MSD и PCD подобны по двум
4

SMD и CPD – прямые.
угол D – общий,
P
5
4
D
А
C
M
С
M
1
3
44
4
В
D
SM SD

;
PC CD
4
5
 ;
PC 4
PC  4 4 : 5
PC  3,2
На рисунке две скрещивающиеся прямые a и b. Через каждую из них
проведена плоскость, параллельная другой прямой. Отрезки параллельных
прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
a b
a

a II 

b
На этом утверждении основан метод определения расстояния между
двумя скрещивающимися прямыми, как расстояния между плоскостями,
проведенными через каждую из данных прямых параллельно другой
прямой.
В пирамиде DАВС все ребра равны a. Через Р и К обозначим середины
О – точкаНайдите
пересечения
медиан.
ребер BD и CD соответственно.
расстояние
между прямыми АВ и
Применим свойство медиан: Из  DOC :
РК.
Из  CMВ пересекаются
:
медианы
треугольника
Построим расстояние
между
KL II CO.

2
2
2
DC

DO

OC
;
параллельными плоскостями.
MC от
в отношении
Тогда по теореме
Фалеса:2 к 1,
0 считая
sin OM
60 =2 : 1. ;
2
если DK =вершины
KC, тогда DL
СO=:LO.
BC


a 3
2
2
Вся
медиана
CM–
это
3
части.

 ;
a  DO 
D
F
L
A
P
?
О
M
600
B
 3 
3 MC


a 3 ;
a
3
MО =
: 3 2=
(это
a 1 часть)
2
6
3a 2
aa 3
2
2
DO  a 
;
aa 3(это 2 части)
CОK=
:
3
*
2
=
9
2 MC  3 .

2
a2
2
2
DO  a  ;
3
C
a3
2
2
a
2
3
DO 
;
3
a3
a 6
2
LO

: 2;
a 2 2
a
DO 
3
3  3
a 6
a 6
Ответ : LO 
.
DO 
6
3
Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. Найдите расстояние
между прямыми ВL и MO и , где — L середина ребра MC, O — центр
LN CE
грани ABC.
 LN II MO
MO CE
Расстояние
между Фалеса:
одной изесли
скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через
Тогда по теореме
другую прямую параллельно
первой,
называется расстоянием между скрещивающимися
3
3
МL=LC, то ON=NC= : 2 =
.
О – точка
пересечения
медиан.
прямыми. Построим через
плоскость,
параллельную
прямой
МО.
3 прямую
6 BL 
Искомое расстояние
равно
расстоянию
между
Применим свойство медиан: от
прямой МО до
параллельной
плоскостипересекаются
BNL.
М
медианы
треугольника
1
2
считая
от2
2
Извотношении
AEC : AC22 к1,AE
 EC
вершины CO : OE = 2 : 1.
2
Вся
CE 2– это 3 части.
1
2 медиана
L
1
1
2
В
H
1
2
3
6
E
1
2
А
O
3
3
N
3
6
1
3
3
3
6
1     ЕС ;
 2 3
3
EО = 2 : 3 =
(это 1 часть)
6
1
C ЕС 2  13 ;
CО =
: 34* 2 = 3 (это 2 части)
2
3
3
ЕС   ;
4
3
ЕС 
2

7
2 3
Треугольники
B
BNE и ONH подобны
по двум углам
1
2
B  общий
O
BEN  OHN  900
М
E
1
2
L
1
1
2
B
C
H
1
2
3
6
E
1
2
А
O
3
3
А
N
3
6
1
3
6
C
H
N
3
6
3
3
Из  BNE :
2
2
2
BN

BE

NE
OH ON
2

;2 

1  3
BE
BH
2
BN     
;

 23  3 
OH2 1 6 1
  ;;
BN
1
4 73
2
2 73
BN  
;
1 123
7
OH  
:
27 6 2 3
BN 
21 3 3 2 3
OH  

2 6
7
1  7
OH 
2 7  7
7
Ответ : OH 
14
В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра
2 3
равны
. Определите
расстояние
прямыми АD1 и CB1.
E1 между
2 3
F1
Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость,
параллельную другой прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные
2 3
между параллельными плоскостями, равны. 6
D1 из точки
А1 грани, которая
4 3 B в верхней
Опустить перпендикуляр можно
1
2
3
перпендикулярна каждой из параллельных плоскостей.
C1
E1
F1
D1
N
3
C1
A1
F
D
2
2
2 3
2
4 3   В F  2 3  ;
2
2
1 1
В1 F1  48  12;
2
В1 F1   36 ;
A
B
D1 В1  В1 F1  D1 F1 ;
2
2 3
С

Из  D1 В1 F1 :
B1
E
В1
В1 F1  6.
Ответ: 3.
Показать (3)
В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра
равны 1, найдите расстояние между прямыми АА1 и CF1.
Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость,
E1 прямых,Fзаключенные
параллельную другой прямой. Отрезки параллельных
1
между параллельными плоскостями, равны.
1
Опустить перпендикуляр можно из точки B1 в верхней
грани, которая
2
перпендикулярна каждой из параллельных плоскостей.
D1
А1
3
E1
D1
N
C1
F1
3
2
C1

В1
A1
B1
1
E
F
D
A
С
B
Ответ:
1
Показать (3)
3
2
a
a II 
a b

b
План решения задачи.

1. Через одну прямую проводим плоскость , параллельную
второй прямой

2. Вторую плоскость проводим, перпендикулярно к плоскости
3. Из точки пересечения прямой aсо второй плоскостью опускаем перпендикуляр
на линию пересечения плоскостей.
Иногда эти плоскости не надо строить… их надо найти, они уже есть на чертеже.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны
6, найдите расстояние между прямыми АА1 и ВС1.
1. Через прямую ВС1 проходит плоскость, параллельная второй прямой АА1
(В1В II А1А, а В1В 
ВСС1).
2. Плоскость А1B1С1 перпендикулярна к плоскости ВСС1.
3. Из точки А1 опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей В1С1.
А1K – искомое расстояние.
А1
В1
Из  A1 KС1 :
К
60
0
С1
6
А
В
6
6
С
sin 600 
A1 K
;
A1С1
3 A1 K

;
2
6
6 3
A1 K 
;
2
A1 K  3 3.
1 способ
Можно было рассмотреть другую плоскость в п. 2.
1. Через прямую ВС1 проходит плоскость, параллельная второй прямой АА1
(В1В II А1А, а В1В 
ВСС1).
2. Плоскость АА1К перпендикулярна к плоскости ВСС1.
3. Из точки А1 опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей KF.
А1K – искомое расстояние.
А1
В1
К
60
0
С1
6
А
В
6
F
С
2 способ
Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
a
a b

a II 
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью,
проходящей через другую прямую параллельно первой, называется
расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых
и перпендикулярный к этим прямым, называется их общим
перпендикуляром.
На рисунке АВ – общий перпендикуляр.
В
А
Но построить общий
перпендикуляр в задачах
бывает не просто.
С2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A1C.
Достроим треугольную призму до четырехугольной призмы. Мы получим призму, в
основании которой лежит ромб со стороной, равной 1 и углом 60°.
Построим плоскость параллельную прямой АВ и проходящую через прямую CA1.
Теперь найдем расстояние от прямой АВ до плоскости А1В1С.
NK – искомое расстояние
1
А1
7
2
600
3
2
1
Из  ANC :
NC
sin 60 0 
;
AC
3 NC

;
2
1
3
NC 
.
1
2
Из  LNC :
LC 2  LN 2  NC 2 ;
2
 3
 ;
LC  1  

2


3
2
LC  1 ;
4
7
2
LC 
4
7
LC 
.
2
2
2
Рассмотрим отдельно треугольник LNC.
С2 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой
равны 1, найдите расстояние между прямыми AB и A1C.
NK – искомое расстояние
Найдем NK через площадь.
S LNC
7
2
1
S LNC
S LNC
3
2
1
 LN  NC ;
2
1
3
 1
;
2
2
3

.
4
3
4
7
4
1
S LNC  LC  NK ;
2
3 1 7
 
 NK ;
4
2 2
3
7 NK

;
4
4
4 3
NK 
;
4 7
NK 
3  7
7  7
21
NK 
7
Можно ли было не достраивать до четырехугольной призмы?
NK – искомое расстояние
1
А1
7
2
600
1
3
2
1
Другие чертежи к задаче, разнообразные ракурсы …
http://ege-ok.ru/2012/05/12/rasstoyanie-mezhdu-skreshhivayushhimisya-pryamyimi-2-zadanie-s2/
http://static.diary.ru/userdir/1/8/2/5/1825573/74815390.gif
На рисунке две скрещивающиеся прямые a и b. Через
каждую из них проведена плоскость, параллельная другой
прямой. Отрезки параллельных прямых, заключенные между
параллельными плоскостями, равны.
a b
a

a II

b
На этом утверждении основана возможность определить расстояние
между двумя скрещивающимися прямыми как расстояние между
плоскостями, проведенными через каждые из данных прямых
параллельно другой прямой.
Применим этот способ…
1
L
А1
1
600
1
… мы получим тот же треугольник.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
равно длине их общего перпендикуляра.
Построить его не легко, да и не нужно!
Постараемся понять суть метода.
А1
K
Плоскость, перпендикулярная одной из
скрещивающихся прямых параллельна общему
перпендикуляру к ним.
Отсюда следует метод: построить плоскость,
перпендикулярную одной из скрещивающихся
прямых и спроектировать на нее обе прямые.
Одна из них спроектируется в точку:
АВ
N,
CA1
CL.
А общий перпендикуляр, в силу параллельности плоскости проекции,
спроектируется на нее в натуральную величину.
Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и
будет равно длине общего перпендикуляра, т.е искомому расстоянию.
NK – искомое расстояние
В правильной четырехугольной пирамиде SАВСD высота 2SO вдвое
Из  ОSN : SN  ОS 2  ОN 2 ;
больше стороны основания ABCD. Найдите расстояние между прямыми AB и
2
SC, если сторона основания пирамиды равна 17.
17


SN 2  34 2    ;
Применим определение
расстояния между скрещивающимися
 2  прямыми.
Построим плоскость параллельную прямой АВ и проходящую через другую
2 прямую.
17
 
2
 АВ II SDC.
АВ II CD, SC SDC, значит,
SN 2  17  2     ;
Расстояние между срещивающимися
S
 2 прямыми
равно расстоянию между прямой АВ
2 и
17
параллельной плоскостью
SN 2  17 2 SDC.
22  2 ;
2 что этот
NP – искомое расстояние (отмечу,
1 
отрезок не общий 2перпендикуляр
наших
2  2
SN

17

2

;

2 
скрещивающихся прямых)
2

34
P
1

SN 2  17 2   4  ;
4

17 17
2
D
А
M
С
O
17
17
2
В

N
SN  17 2 
SN 

17
;
4
17 17
.
2
SN = SM

Треугольники MSO и MNP подобны по двум углам:

угол M – общий, MOS и  NPM – прямые.
SO SM

;
PN MN
17 17
2
34
17 17
2
;

; PN  34 17 :
; PN  34 17 
PN
17
2
17 17
34 17  2
S
PN 
;
17 17
PN 
S
34
P
2
17 17
2
С
PN 
17 17
2
D
34
P
O
17
17
2
В
M
N
34  2 17
17
PN  4 17
А
M
34 2  17
17  17
17
2
О
17
N
В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1, стороны
основания которой равны 4, а боковые ребра равны 5, найдите
расстояние между прямыми АС и ВС1.
1. Через прямую ВС1 построим плоскость, параллельную второй прямой АC
(т.к. AС II А1C1, а A1С1  ВА1С1).
2. Плоскость DBB1 перпендикулярна к плоскости ВА1С1.
3. Из точки N опускаем перпендикуляр на линию пересечения плоскостей ВL.
NK – искомое расстояние.
4
А1
33
450
4
Из  ВAN :
ВN
0
cos 45 
;
ВA
2 ВN

;
2
4
5
4 2
ВN 
;
2
ВN  2 2 .
Из  ВLN :
ВL2  LN 2  ВN 2 ;
 
2
ВL  5  2 2 ;
2
2
ВL2  33;
ВL   33;
ВL  33.
Найдем NK через площадь.
S LNВ
S LNВ
S LNВ
5 2
1
LВ  NK ;
2
1
5 2   33  NK ;
2
33
NK ;
5 2
2
33
;
NK  5 2 :
2
2
;
NK  5 2 
33
S LNВ 
1
 LN  NВ;
2
1
 5 2 2;
2
 5 2.
L
А1
33
5
33
5
N
450
4
K
2 2
33
10 2  33
NK 
33  33
NK 
10 66
33
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми
АС и ВD1.
1. Через прямую BD1 построим плоскость, параллельную второй прямой AC
(NF II AC, и NF 
BND1).
2. Плоскость DBD1 перпендикулярна к плоскости BND1.
3. OK – искомое расстояние.
D1
С1
А1
В1
D
N
А
FС
K
1
O
1
В
1 способ
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми
АС и ВD1.
1. Через прямую АС построим плоскость, параллельную второй прямой ВD1
(NO II BD1, и NO  АСN).
2. Плоскость DBD1 перпендикулярна к плоскости ANC.
3. OK – искомое расстояние.
d 2  3a 2
Из  АВС :
D1
С1
А1
2
2
D
B

3

1
;
1
АС  АВ  ВС ;
2
D1 2
2
2
D
B
 3;
АС  1  1 ;
1
D1 B   3;
АС 2  2;
2
В1
N
1
3
1 N
2
АС   32 ;
2
D1 B  3.
АС  2 .
K
АС  BD  2 .
D
O
А
С
K
1
2
2
1
В
D
O
Тогда
2
ОВ2
2

2
2 способ
Треугольники BDD1 и BKO подобны по двум углам:

угол B – общий, BKO и D – прямые.
2
KO
 2 ;
1
3
KO OB

;
DD1 BD1
D1
KO 
2
: 3;
2
С1
2  3
2 3 3
6
KO 
6
D1
А1
KO 
В1
1N
3
3
1 N
K
D
O
А
С
K
1
2
2
D
O
2
2
1
В
2 способ