34. Параллельность прямых и плоскостей. Задачи [16,с.56-58], [37,с.21], [5,с.110-111], [6,с.13]. Литература Задача 1. Проверьте следующий признак параллельности прямых в пространстве: две прямые параллельны, если любая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую. Решение. Если прямые а и b скрещиваются (или пересекаются), то найдется плоскость, которая пересекает а и параллельна b. Если а||b, то плоскость пересекающая а в точке М, пересекает и плоскость, проходящую через а и b. Линия пересечения плоскостей не может быть параллельна b, т.к. через точку М нельзя построить две прямые параллельные b плоскость пересекает прямую b. Задача 2. Даны а и b. Известно, что можно построить только две параллельные плоскости, одна из которых содержит прямую а, а другая прямую b. Докажите, что а и b скрещиваются. Решение: Если они параллельны, можно построить бесконечно много параллельных плоскостей, одна из которых содержит прямую a, другая – b. Если прямые пересекаются, то каждая плоскость, содержащая а, пересекает плоскость содержащую b а и b не параллельны и не пересекаются, т.е. они скрещиваются. Задача 3. Точка М находится вне плоскости правильного шестиугольника, периметр которого 48 см. Найдите расстояния между серединами отрезков, соединяющих точку М с вершинами шестиугольника. Ответ: 4см, 8см, 4 3 см. Задача 4. Докажите, что углы с сонаправленными сторонами равны. Решение. Плоскости углов параллельны. Отметьте на сторонах одного угла точки В и С, а на сторонах другого такие точки В1 и С1, чтобы АВ = А1В1, АС = А1С1. Т.к. АА1В1В и А А1С1С параллелограммы, то и ВВ1С1С параллелограмм; ВС=В1С1. АВС=А1В1С1 (по третьему признаку равенства треугольников), ВАС = В1А1С1. Задача 5. Длина стороны квадрата АВСD равна 6см. Точка М удалена от каждой его вершины на 17см. Найдите расстояние от середины отрезка МА до середин всех сторон квадрата. Решение. M Расстояния до середины сторон АВ и АD (по свойству средней линии треугольника) равны по 8,5см. Постройте КЕ||AD; KECO параллелограмм, КО=СЕ (рис.). Поэтому E K D O F A H B C КО 1 2 17 2 6 2 17 2 9,5см. 2 Такое же расстояние и до середины стороны СD. Задача 6. Три плоскости попарно пересекаются. Верно ли, что линии их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны? Ответ: Да. Содержание