integral

Бурятский филиал МЭСИ
Преподаватель: Асалханова Л.И.
Понятие определенного
интеграла
«Математика есть способ называть
разные вещи одним именем»
Актуализация опорных знаний
Вопросы
 1)
Что называется первообразной?
 2)
Что называется неопределённым интегралом?
Сформулировать свойства неопределённого
интеграла
 3)
Анри Пуанкаре
Актуализация опорных знаний
Ответы
1)Функция F (х) называется первообразной функцией для
функции f (х) на промежутке X, если в каждой точке х
этого промежутка F'(x) = f(x ).
2) Совокупность всех первообразных для функции f (х) на
промежутке X называется неопределенным интегралом от
функции f (x ) и обозначается 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶.
Актуализация опорных знаний
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
/
функции, т.е. ( 𝑓 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑓 𝑥 .
 Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, т.е. 𝑑( 𝑓 𝑥 𝑑𝑥)) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
 Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
dF(x)= F(x) + С
 Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
 Kf x dx  K  f x dx


Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же
сумме интегралов от этих функций, т.е.
  f1 x   f 2 x dx   f1 x dx   f 2 x dx
Актуализация опорных знаний
Вопросы:
4) Назовите действие обратное интегрированию.
5) Назовите методы интегрирования.
5) Правильность интегрирования можно проверить…
6) Дописать продолжение формул
Содержание
Задача о площади криволинейной трапеции
 Понятие интегральной суммы
 Геометрический смысл интегральной суммы
 Понятие определенного интеграла
 Геометрический смысл определенного интеграла
 Экономический смысл интеграла
 Условие существования определенного интеграла
 Пример нахождения определенного интеграла на основании определения
 Свойства определенного интеграла
 Теорема о среднем
 Интеграл с переменным верхним пределом
 Формула Ньютона - Лейбница

Задача о площади криволинейной
трапеции
Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная функция у=f(х).
Требуется найти площадь S криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y=f(x), прямыми х = а, х =b и осью
абсцисс у =0
S ~ Sл
За искомую площадь S возьмем предел площади Sл под ломаной в
предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.
Понятие интегральной суммы
Пусть на отрезке [a, b] задана функция у =f(х).
Разобьем отрезок [a, b] на п элементарных
отрезков точками х0, х1,… хn :а = х0<х1<… <хn = b.
На каждом отрезке [ хi, хi-1] разбиения выберем
некоторую точку ξi, и положим Δхi =хi-хi-1, где
i= 1, 2,… п. Сумму вида
𝑛
𝑖=1 𝑓(ξi)Δхi
будем называть интегральной суммой для функции
у =f(х) на [a, b].
Геометрический смысл интегральной
суммы
Пусть функция у=f(х)
неотрицательна на [a, b].
Отдельное слагаемое𝑓(ξi)Δхi
интегральной суммы в этом
случае равно площади
Si,прямоугольника со
сторонами𝑓(ξi) Δхi, где i = 1, 2, п
Sл= S1 + S2 +...+ Sn
Понятие определенного интеграла
max Δхi -максимальная из длина отрезков [ хi , хi-1] , где
i = 1,2,..п.
Определение. Пусть предел интегральной суммы 𝑛𝑖=1 𝑓(ξi)Δхi
при стремлении max Δхi, к нулю существует, конечен и не
зависит от способа выбора точек х0, х1,... и точек ξ1,ξ2,….Тогда
этот предел называется определенным интегралом от функции
𝑏
у =f(х) на [a, b], обозначается 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, а сама функция у=f(х)
называется интегрируемой на отрезке [a, b], т.е.
𝑏
𝑛
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑓(ξi) Δ𝑥𝑖
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0
𝑖=1
Геометрический смысл определенного
интеграла
Функция у= f(x) неотрицательна на
отрезке [а, b], где а <b,
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 численно равен площади
S под кривой у = f(x) на [а, b]
Рассмотрим значения некоторых интегралов, используя известные
планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
1
𝑑𝑥=1
0
1
0
𝜋
1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
4
Экономический смысл интеграла
Пусть функция z = f ( t ) описывает изменение производительности
некоторого производства с течением времени. Найдем объем
продукции и, произведённой за промежуток времени [0, Т ].
Отметим, что если производительность не изменяется с течением
времени ( f (t) — постоянная функция), то объем продукции
∆и, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t +∆t],
задается формулой ∆и = f (t)∆t. В общем случае справедливо
приближенное равенство ∆и = f(ξ) ∆t, где ξ ∈[t, t + ∆t],
которое оказывается тем более точным, чем меньше ∆t.
Экономический смысл интеграла
Разобьем отрезок [0, Т ] на промежутки времени точками:
0 = t0<t1<t2<...<tn= Т. Для величины объема продукции
произведенной за промежуток времени имеем
∆иi= f(ξi) ∆ti где ξi ∈[ti-1, ti], i = 1, 2, ..., п. Тогда при стремлении
max ∆иi к нулю каждое из использованных приближенных
равенств становится все более точным, поэтому
𝑛
U= lim
f(ξi) ∆ti
𝑖=1
max ∆иi→0
𝑇
𝑓
0
Окончательно, получаем U=
𝑡 𝑑𝑡
f(t) — производительность труда в момент t, то
выпускаемой продукции за промежуток [0, Т].
𝑇
f(t)dt
0
есть объем
Условие существования определенного
интеграла
Теорема. Если функция у =f (x) непрерывна
на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Пример нахождения определенного
интеграла на основании определения
1
𝑥 2 𝑑𝑥
Вычислить
0
Р е ш е н и е. Запишем выражение для интегральной суммы,
предполагая, что все отрезки [ хi , хi-1], разбиения имеют одинаковую
длину Δхi, равную 1/n, где п — число отрезков разбиения,
причем для каждого из отрезков [ хi , хi-1], разбиения точка ξ
совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. ξ i= 𝑥𝑖 = i/n, где
i = 1, 2, ..., п. у = х2 интегрируемая функция. Тогда
𝑖 21
𝑛
𝑛
𝑖=1 𝑓(ξi) Δ𝑥𝑖 = 𝑖=1 𝑛
𝑛
=
1
𝑛3
𝑛
2
𝑖
𝑖=1
Пример нахождения определенного
интеграла на основании определения
Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна
𝑛
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
=
6
𝑖=1
𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)
1
= lim
= lim
3
6𝑛
6 𝑛→∞
𝑛→∞
𝑖2
1 2
𝑥
𝑑𝑥
0
=
1
1
+
𝑛
2
1
+
𝑛
=
1
3
Непосредственное вычисление определенного интеграла связано с
трудностями – интегральные суммы сколько-нибудь сложных функций
имеют громоздкий вид и зачастую нелегко преобразовать их к виду,
удобному для вычисления пределов.
Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил
Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно
напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь
сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие
математики решали задачи на вычисление площади фигур и
объемов тел. Все же еще в XVII веке постановка таких задач и
методы их решения носили сугубо частный характер.
Существенный сдвиг в этом вопросе внесли Ньютон и Лейбниц,
указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что
вычисление определенного интеграла от функции может быть
сведено к отысканию ее первообразной.
1. Свойства определенного интеграла
Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования
равен нулю
a
 f x dx  0
Доказательство
a
a
n
 f x dx  Lim  f ( )x
a
max x 0 i 1
i
i

n
Lim  f ( )( x
max x 0 i 1
i
i
 xi 1 ) 0
2. Свойства определенного интеграла
При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак.
b
a
a
b
 f x dx    f x dx
Доказательство
b
n
 f x dx  Lim  f ( )( x  x
max x 0 i 1
a

i 1
Lim  f ( )( x
max x 0 n
i
i 1
i
i 1
i
a
)
 xi )    f ( x)dx
b
3. Свойства определенного интеграла
b
 dx  b  a
a
Доказательство
b
 dx  Lim (1x
a
max x 0
1
 1x2  ...  1xn )  b  a
4. Свойства определенного интеграла
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
b
b
 Kf x dx  K  f x dx
Доказательство
a
a
Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, b] и выбор точек
ξ1,ξ2,…. на каждом из отрезков разбиения. Используя ассоциативный
(распределительный) закон умножения чисел, имеем
𝑛
𝑛
К
𝑓(ξ
)Δх
=
К
i
i
𝑖=1
𝑖=1 𝑓(ξi)Δхi
Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства
при max Δхi →0:
𝑛
К 𝑓(ξi) Δ𝑥𝑖 =
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0
𝑛
𝑖=1
𝑛
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0
𝑓(ξi) Δ𝑥𝑖
К
𝑖=1
5. Свойства определенного интеграла
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
b
b
b
  f x   f x dx   f x dx   f x dx
1
2
a
1
a
Доказательство
𝑏
𝑎
a
𝑛
𝑏
𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 ±
𝑓2 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑛
±
2
𝑛
𝑓1 (ξi) Δ𝑥𝑖
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0
𝑖=1
𝑓2 (ξi) Δ𝑥𝑖 =
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0 lim
(𝑓1 (ξi) ± 𝑓2 (ξi)) Δ𝑥𝑖
𝑖=1
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥→0
𝑖=1
6. Свойства определенного интеграла
Если на [а, b]
f  x    (x)
, то
b
b
a
a
 f x dx    ( x)dx
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
Доказательство
b
n
 ( f x    ( x))dx  Lim  ( f ( )   ( ))x
i
max x 0 i 1
a
i
i
По свойству 5 получаем
b
b
a
a
 f x dx    ( x)  0
b
b
a
a
 f x dx    ( x)
0
7. Свойства определенного интеграла
Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл
на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших
частей, т.е. при любых а, b, с:
b
c
b
a
a
c
 f x dx   f x dx   f x dx
Доказательство
b
b
c
 f x dx  S  f x dx  S  f x dx  S
1
a
a
c
2
8. Свойства определенного интеграла
Если M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке
[a;b], а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b],
то:
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑎
Доказательство
𝑏
𝑏
𝑏
𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 по свойству 6.
𝑚 𝑑𝑥 ≤
𝑎
по свойству 4
m
𝑏
𝑑𝑥
𝑎
≤
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀
𝑏
𝑑𝑥
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤
𝑎
𝑀 𝑑𝑥
𝑎
9. Свойства определенного интеграла
a) Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен
𝑎
нулю
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0
−𝑎
b) Интеграл от четной функции по симметричному отрезку равен
удвоенному
интегралу по половине отрезка
𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2
−𝑎
𝑓(𝑥)
0
9. Свойства определенного интеграла
Доказательство
a) По свойству 7
𝑎
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−𝑎
𝑎
𝑓
0
𝑥 𝑑𝑥 = −𝑆1 + 𝑆2 = 0
b) По свойству 7
𝑎
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
−𝑎
𝑎
𝑓
0
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑆1 + 𝑆2 = 2𝑆
Теорема о среднем
Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то
существует
такая точка, что
b
 f ( x)dx  f ( )(b  a).
a
Доказательство
𝑚≤𝑓 𝑥 ≤𝑀
𝑏
1
𝑓
𝑎
𝑏−𝑎
Тогда 𝑚 ≤
𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀
найдется такое число ξ ∈[а, b], что
𝑏
1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(ξ)
𝑏−𝑎 𝑎
Найдется такая точка ξ из отрезка [а, b], что площадь под кривой
у= f(x) на [а, b] равна площади прямоугольника со сторонами f (ξ) и
b— а.
Интеграл с переменным верхним
пределом
Если функция f(x)интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на
отрезке [a, x], где x∈[a,b], т.е. существует интеграл
𝑥
Ф(х)= 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
Этот интеграл является функцией x , и называют интегралом с переменным
верхним пределом.
Теорема. Если f(x) - непрерывная на отрезке [a,b] .
Тогда в каждой точке х отрезка [а, b] производная
функции Ф(х) по переменному верхнему пределу
равна подынтегральной функции
f (x ) , т.е. Ф′(x)= f(x), или (
Следствие.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
𝑓
𝑎
𝑥
𝑓
𝑎
/
𝑡 𝑑𝑡) =f(x)
𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶
Формула Ньютона - Лейбница
Теорема. Если F(x)есть некоторая первообразная от непрерывной
функции f(x), то справедлива формула
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Доказательство. Пусть F(x) есть некоторая первообразная f(x).
𝑥
Ф(х)= 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 -есть тоже первообразная f(x). Но любые две первообразные
функции отличаются лишь на постоянную величину C, следовательно
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡-F(x)=C
𝑎
Постоянную ве6личину C легко определить, положив в равенстве x=a
𝑎
𝑥
получаем С = −F(a) так как 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0, то 𝑎 𝑓 𝑡 𝑑𝑡-F(x)=-F(a)
Формула Ньютона - Лейбница
𝑥
𝑓
𝑎
𝑡 𝑑𝑡-F(x)=-F(a) или
𝑥
𝑓
𝑎
𝑡 𝑑𝑡=F(x)-F(a) Положив, x = b получаем
формулу Ньютона-Лейбница.
Это основная формула интегрального исчисления. Она дает практически
удобный метод вычисления определенных интегралов непрерывных
функций. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог
получить то значение в математике, которое он имеет в настоящее время
Разность принято записывать следующим образом:
F(x)-F(a) =F(x) 𝑎𝑏
где символ называется знаком двойной подстановки.
Пример
1 2
𝑥 𝑑𝑥
0
Вычислить:
Произвольная первообразная для функции f (x ) = х2 имеет
𝑥3
+С.
3
вид F(x) =
Для нахождения интеграла по формуле
Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную,
у которой С = 0. Тогда
1 2
𝑥 3 1 13
𝑥 𝑑𝑥=
=
0
3 0 3
−0=
1
3
Пример
Вычислить:
Решение
Решение
Используя формулу
получим
Пример
Вычислить:
Решение
Использованная литература
• Высшая математика для экономистов. Кремер Н.Ш.(ред.) –
М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2010
• Дадаян А.А. Математика– М.: ФОРУМ, 2012