Угол между плоскостями.

p  x1; y1; z1
p
а
q
q  x2 ; y2 ; z2 
b
cos   a, b  
-направляющие
вектора прямых
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x y z
2
1
2
1
2
1
x2  y2  z2
2
2
2
№ 1. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите косинус угла между
прямыми АВ1 и ВF1
 1 3 
A   ;
;0 
z
 2 2 
1 3 
B1  ;
;1
2 2 
х
у
1 3 
B  ;
;0 
2 2 
F1 (- 1; 0;1)
AB1 1;0;1
 3
3 
BF1  ; 
;1 -направляющие
2 
 2
вектора прямых

3
3
 1  0   
  11
2
 2 
cos   AB1 , BF1  
1  0 1
2
Ответ:
2
8
2
2
2
3
 3 
2




1


 
2
2

 

2
2

8
№ 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между
прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 ,
Е – серединаz ВВ1, F – середина DC.
Q
Р (4; 0; 2)
PQ 4; 2; 2
Q (0; 2; 4)
P
F
E (4; 4; 2)
E
у
х
cos   PQ, EF  
1
Ответ:
3
F (0; 2; 0)
EF 4; 2; 2
4   4   2   2   2   2 
1

2
2
2
2
2
2
3
 4  2  2  4    2    2 
№ 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между
1
1
прямыми AE и BF, если BE  BC , C1 F  C1 B1.
z
3
3
A (3; 0; 0)
Е (2; 3; 0)
F
AE 1;3;0
В (3; 3; 0)
E
cos   AE, BF  
х
  AE , BF   arccos
130
65
у
BF 2;0;3
F (1; 3; 3)
1  2   0  3  0  3
2
2

1

3

0
 
2

2

0

3
   
130
arccos
Ответ:
65
2
2
2
130

65
№ 4. В правильной треугольной призме все ребра
равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и
z
С1
СB1.
1
В1
А1
х
AC1 1;0;1
 1

C1   ;0;1
 2

 1

C   ;0;0 
 2

С
А


A  ;0;0 
2

 1 3 
CB1  ;
;1

 2 2 
3 
B1  0;
;1

В
у
2

 1 3 
CB1  ;
;1
 2 2 
AC1 1;0;1
 3
1
  1  0  
  1 1
2
 2 
cos   AC1 , CB1  
 1
  AC1 , CB1   arccos
1
Ответ: arccos
4
1
4
2
 0 1
2
2
2
1  3
2


1

  
2
2
  

2
1

4
Углом между прямой и плоскостью называется угол
между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
α - угол между прямой и плоскостью
β
p
α
sin   sin( 90   )  cos 
n
β – угол между прямой и
перпендикуляром
к плоскости
Чтобы найти синус угла между прямой
и плоскостью можно найти косинус угла
между прямой и перпендикуляром к
плоскости
ax  by  cz  d  0
n a; b; c
уравнение плоскости
- вектор нормали к плоскости
p  x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой
 
   n, p
sin  
ax1  by1  cz1
a b c
2
2
2
x y z
2
1
2
1
2
1
№ 1 В единичном кубе найдите угол между
прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е –
1
середина В1С1, BF  BB1
3
A1 (1; 0; 1)
A (1; 0; 0)
z
E
1
F
1
х
у
1
Е (0,5; 1; 1)
B1 (1; 1; 1)
1

F 1;1; 
3

p  AB1
p 0;1;1
Запишем уравнение
плоскости (А1EF):
A1 (1; 0; 1)
Е (0,5; 1; 1)
1

F 1;1; 
3

4
2
7
cx  cy  cz  c  0
3
3
3
4
2
7
x yz 0
3
3
3
4 x  2 y  3z  7  0
ax  by  cz  d  0

a  c  d  0

1
 abcd  0
2
1

ab cd  0

3

- уравнение плоскости (А1EF).
4

a

c

3

2

b

c

3

7

d


c

3

4 x  2 y  3z  7  0
n 4; 2;3
p 0;1;1
 
- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
   n, p
sin  
4  0  2 1  3 1
42  22  32 02  12  12
5
  arcsin
58
5

58
Ответ: arcsin 5
58
№ 2. В правильной шестиугольной призме все
ребра равны 1. Найдите синус угла между
прямой AВ1 и плоскостью (АСF1).
 1 3  p  AB
1
A  ;
;0 
z
 2 2



1 3 
B1  ;
;1
2 2 
х
у
p 1;0;1
Запишем уравнение
плоскости (АСF1):
 1 3 
A   ;
;0 
 2 2 
C (1; 0;0)
ax  by  cz  d  0
F1 (- 1; 0;1)
dx  3dy  2dz  d  0
x  3 y  2z 1  0
- уравнение плоскости (АСF1).
 1
3
bd 0
 a 
2
2


a  d  0
a  c  d  0



a  d

b   3d
 c  2 d

x  3 y  2z 1  0


n 1; 3; 2
p 1;0;1
 
- вектор нормали к плоскости
- направляющий вектор прямой
   n, p
1 1  3  0  2 1
sin  
2
1  3  22 12  02  12
2
Ответ: 3
4
3

4
№ 3. В правильной четырехугольной пирамиде
ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите
угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и
плоскостью (АDS).
B  2;2;0
z
p  BE
E  1;1;3
E
p 3; 1;3
y
х
Запишем уравнение
плоскости (АSD):
A  2; 2;0
D  2; 2;0
ax  by  cz  d  0
S  0;0;6 
1
1
0dx  dy  dz  d  0
2
6
0x  3y  z  6  0
- уравнение плоскости (АSD).
2a  2b  d  0

2a  2b  d  0
6c  d  0


a  0

1

b  d
2

1

c d

6

0x  3y  z  6  0
n 0;3; 1 - вектор нормали к плоскости
p 3; 1;3
 
- направляющий вектор прямой
   n, p
sin  
3  0  3   1  3   1
0  3   1
2
6
  arcsin
190
2
2
 3   1
Ответ:
2
2
3
6
arcsin
190
2
6

190
Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0  уравнение плоскости 
a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0  уравнение плоскости 
ma1 ; b1 ; c1  
n
na2 ; b2 ; c2   
 
cos m;n 
m
a1a2  b1b2  c1c2
a b c
2
1
2
1
2
1
a b c
2
2
2
2
2
2
Например:
2 x  3 y  6 z  5  0  уравнение плоскости 
4 x  4 y  2 z  7  0  уравнение плоскости 
m 2;3;6  
n 4; 4; 2  
 
cos m;n 
4  2  3 4  6  2
22  32  62 42  42  22
16

21
A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1)
C (0; 1; 0)
z
D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1)
B (1; 1; 0)
у
х
Запишем уравнения
плоскостей (АСD1) и
(BDC1):
ax  by  cz  d  0
a  d  0

b  d  0
c  d  0

a  d

b  d
c   d

dx  dy  dz  d  0
d  0

a  b  d  0
b  c  d  0

d  0

 a  b
 c  b

bx  by  bz  0
A (1; 0; 0)
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
 
cos m;n 
 
x  y  z 1  0
m 1;1;1   ACD1 
x yz 0
n 1; 1;1   DBC1 
1 1  1 1  1 1
1  1  1 1   1  1
 m; n  arccos
2
1
3
2
2
2
2
1
Ответ: arccos
3
2
1

3
z
С1
В1
А1
С
А
х
В

3 
1

A  ;0;0  B  0;
;0 
2

 2 
 1

C1   ;0;1
 2


3 
1

A1  ;0;1
B1  0;
;1
2

 2 
 1

C   ;0;0 
 2

Запишем уравнения
плоскостей (АBС1) и
у (A1B1C):
1

A  ;0;0 
2

ax  by  cz  d  0
1
2 a  d  0



3
B  0;
;0   3 b  d  0
 2   2
 1
  1 a  c  d  0
C1   ;0;1  2
 2
 
1

A1  ;0;1
2


3 
B1  0;
;1
 2 
 1

C   ;0;0 
 2

1
2 a  c  d  0

 3
 bcd  0
 2
 1
 2 a  d  0

a  2d

2

b


d

3

c  2d
 a  2d

2

d
b 
3

c  2d
2
dy  2dz  d  0
3
2
2x 
y  2z 1  0
3
2dx 
2


m 2;
; 2    ABC1 
3 

2
2dx 
dy  2dz  d  0
3
2
2x 
y  2z 1  0
3
2


n 2;
; 2    A1 B1C 
3


2


n 2;
; 2 
3


2


m  2;
; 2
3 

 
cos m;n 
2 2
22 

 22
3 3
2
1

2
2

7
   2 
 2 
 2
2
2
2
2 
 2 2 
 3
 3
 
1
 m; n  arccos
7
1
Ответ: arccos
7
z
1 3 
B  ;
;0 
2 2 
 1 3 
A1   ;
; 2 
 2 2

 1 3 
A   ;
;0 
 2 2 
 1
3 
E   ; 
; 0 
2 
 2
C (1; 0;0)
х
у
Запишем уравнения
плоскостей (А1BC) и
(AA1E):
ax  by  cz  d  0
1 3 
B  ;
;0 
2 2 
 1 3 
A1   ;
; 2 
 2 2

C (1; 0;0)
1
3
bd 0
 a
2
2
 1
3

a

b  2c  d  0

2
 2
a  d  0


1
1
dx 
dy  dz  d  0
2
3
1
1
x
y  z 1  0
2
3

a  d

1

b


d

3


1
c


d


2
 1 1
m 1;
;    A1 BC 
3 2

 1
A   ;
 2
 1
A1   ;
 2
3 
;0 
2 
3 
; 2 
2

 1
3 
E   ; 
;0 
2 
 2
ax  by  cz  d  0
 1
 a 
 2
 1
 a 
 2
 1
 a 
 2
3
bd 0
2
3
b  2c  d  0
2
3
bd 0
2
2dx  0  y  0  z  d  0
2x  0  y  0  z 1  0
n 2; 0; 0   A1 AE 
 a  2d

b  0
c  0

 1 1
m 1;
; 
3 2

 
cos m;n 
n 2; 0; 0
1
1
1 2 
0  0
2
3
2
2
 1  1
2
2
2
12  


2

0

0
 2
3

  
12

19
 
12
 m; n  arccos
19
12
Ответ: arccos
19