Показательная функция, уравнения и неравенства в заданиях ЕГЭ. И.В.Богданова

Показательная функция,
уравнения и неравенства
в заданиях ЕГЭ.
И.В.Богданова
Показательная функция
Показательной функцией называется функция
вида y=ax , где а - заданное число, а>0, a1.
Область определения функции - множество
всех действительных чисел.
Множество значений функции - все
положительные числа.
Показательная функция является
возрастающей на множестве всех
действительных чисел, если а>1, и
убывающей, если 0<a<1.
График показательной
функции имеет вид:
y=ax, а>1
y=ax, 0<а<1
Примеры заданий из ЕГЭ
группа А
А1. Укажите функцию, убывающую на всей области определения
1) у  0,5
х
 11 
2) у   
3
х
9
у

 
3)
 11 
х
х
у

4
,
5
4)
А2. Найдите множество значений функции у  2 х  3.
1)  ; 2)  ;3 3)  3; 4) 3;
х
1
А3. Найдите наименьшее целое значение функции у     3.
1)  3
2)  2
3
3) 3
4) 1
Проверь себя!
Ответы
1. 3
2. 3
3. 2
Возможные способы решения
задания (А 2)
Множество значений функции можно
найти графическим способом:
Или решив уравнение 2x-3= a,
2x= a+3 , так как 2x>0
при любом х,
то а+3>0, a>-3.
Уравнение имеет решение при
a>-3. Множество значений
функции- (-3;+)
.
Ответ: 3.
Примеры заданий из ЕГЭ
группа А
А 4. Найдите множество значений функции у 
1
.
х
5 2
1)  ; 2) 0,5; 3)  3; 4) 0;0,5
(А 4)
1
 а , и выясним при каких значениях а
Составим уравнение х
5 2
уравнение имеет решение.
х
1
1

а
(
5
 2)
,
, 5 х  2  0 ( при всех х),

а

0

0
5х  2
5х  2
1
 2 , т. к. 5 х >0, то для нахождения множества значений функции
а
1  2а
достаточно решить неравенство 1
>0,
>0.
5х 
2
а
Решая это неравенство методом интервалов, получим промежуток: (0;0,5).
а
Множество значений функции
:
(0;0,5)
Примеры заданий из ЕГЭ
группа В
1. Найдите наибольшее целое значение функции
у  33  0,5


3sin 2 x  
2

.
1
2. При каком значении р функция у   
7
максимум в точке х0  2 ?
3 х 2  рх8
имеет
Примеры заданий из
ЕГЭ группа С
С 1.
Найдите множество значений функции
4х
у3  ,
х
х
х  1.
Графический способ решения
Используя определение модуля, запишем
функцию в
виде:
3  х  4, х  0;
у х
3  4,0  x  1.
Преобразование графика
функции y=3x
у 3 4
х
х
1
у   4
3
График функции
При 0< x 1
множество значений
выражения (3x-4 ) есть
интервал (-3;-1] .
При 0<x
множество значений
выражения (3-x+4)
есть интервал (5;+).
4х
у3  ,
х
х
х  1.
Показательные неравенства
Решение показательных неравенств часто сводится к
решению неравенств вида: ax<ay
Такие неравенства решаются с помощью свойств
возрастания или убывания функции.
Для возрастающей функции: большему значению
функции соответствует большее значение аргумента,
Для убывающей функции - большему значению
функции соответствует меньшее значение аргумента.
Примеры заданий из ЕГЭ
группа А
Решите неравенства:
А 1. 3х  81
х
1
А 2.  2   8
А 3. 3
х 2 х
9
х
3 x 3
А 4. 49  7  7
х
х
А 5. 16  4  2  0
Проверь себя!
1. 4; 
3



;


2. 
2
3.
 1;2
4.
2,5;
5.
0;
Примеры заданий из ЕГЭ
группа В
1. Найдите наибольшее
целое отрицательное
решение неравенства
2. Найдите произведение
наибольшего целого и
наименьшего целого
решения неравенства
3. Найдите область
определения функции
3
 
4
6 х х 2 10
27

64
2х
1
1
   4  5 
2
2
1
у  1  
 11 
1
х 7
2
x
Примеры заданий из ЕГЭ
группа С
1. Решите неравенство
42
х 5
х 1
6
х 3
х 1
 69
х 3
х 1
С1
Данное неравенство можно свести к
квадратному, сделав замену:
Тогда неравенство примет вид:
Применяя свойства степени,
будем иметь:
х3
в
х 1
4  2 2в 1  6 в  6  9 в
2  2 2в  2 в  3в  6  3 2в  0
Примеры заданий из ЕГЭ
группа С
С 2. Найдите все значения х, для
4 х  18  2 х
которых точки графика функции у 
20  3х
лежат ниже соответствующих точек
 32
графика функции у 
.
20  3 х
С2
Для нахождения
таких точек составим
неравенство:
 32
4 х  18  2 х

20  3х
20  3 х
Показательные уравнения
Уравнения, которые содержит неизвестное в
показателе степени, называется
показательным уравнением.
Самое простое показательное уравнение
имеет вид: ax=b , где a > 0, a ≠ 1.
Утверждение. Уравнение имеет единственное
решение x = logab при b > 0 и не имеет
решений при b ≤ 0.
Примеры заданий из ЕГЭ
группа А
Решите уравнения: 2 х
0,6
х
3
1.0,6  0,6 
5
0,6
2. 5,1
1
( х 3)
2
 5,1 5,1
3. 2  3  36
х
х
х2
х
3

2
х
2

 76.
4.
16
Проверь себя!
1. 8
2.
6
3.
0; 0,5
4.
6
Другие способы решения
показательных уравнений
Решите уравнения:
1. 2 х  3  2 х  4  76
2. 9 х  4  3х  45  0
3. 4 х  28  4  х  3  0
4. 16  9 х  25 12 х  9 16 х  0
5. 3х 3  3х  7 х 1  5  7 х
6. 3 х 1  3 х 3
7. 2 х  3 4  9 х  12 х  3 16 х  0


Примеры Заданий из ЕГЭ
группа С
1. Решите уравнение
2
5 х 1
3
4 х 1
7
3 х 3
 504
х2
2. Решите уравнение 4  2 х  1  5  4 х  2  2 х  4  6