Показательные уравнения и неравенства

«Показательные уравнения и неравенства»
Гордова Е.А. - учитель математики
2015 г
Показательные уравнения и неравенства
Решение большинства математических задач связано с преобразованием числовых,
алгебраических или функциональных выражений. Сказанное относится и к решению
показательных уравнений и неравенств. Научиться решать их важно не только с целью
успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса
математики в высшей школе.
Рассмотрим основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные
методы их решений.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств,
вспомним некоторый теоретический материал.
Показательная функция
Что такое показательная функция?
Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции y = ax:
Свойство
a>1
0<a<1
Область определения
D(f) = (-∞; +∞)
D(f) = (-∞; +∞)
Область значений
E(f) = (0; +∞)
E(f) = (0; +∞)
Монотонность
Возрастает
Убывает
Непрерывность
Непрерывная
Непрерывная
График показательной функции
Решение показательных уравнений
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится
только в показателях степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать следующую теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x), (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению
f(x) = g(x).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант положителен, значит, что данное уравнение имеет два корня.
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго
положительна на всей области определения. Решаем первое:
Переходим к уравнению: x = 3.
Ответ: 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как
подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x
(показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение
Ответ: 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части уравнения делим на 0,2x, т.к. выражение больше нуля при любом
значении x. Уравнение принимает вид:
Ответ: 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение.
(Разделили обе части уравнения на 4x ).
Ответ: 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3x является возрастающей. Функция y = -x-2/3 является
убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем
в одной точке. Графики пересекаются в точке x = -1.
Ответ: -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований.
Ответ: 2.
Решение показательных неравенств
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится
только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла:
f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно
неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом знак неравенства не изменится:
Подставим
Неравенство примет вид:
Решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к равносильному
неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, равносильным будет
следующее неравенство:
Ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в
виде:
Введем новую переменную:
Неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:
Тогда получаем:
Т.к.основание степени здесь больше единицы, равносильным будет неравенство:
Ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля, поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
Замена переменной:
Исходное уравнение тогда принимает вид:
Неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:
Исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции.
Решаем второе:
Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше
нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно, она ограничена сверху
значением, которое достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, она ограничена
снизу значением, которое достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой
части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и
парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство
может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа
принимают в одной точке значение, равное 3. Это условие выполняется в единственной
точке x = 1.
Ответ: 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства,
необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут
помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике,
сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные
занятия.