Интегральные преобразования (слайды)

СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ:
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ;
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА;
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Лекции: Кориков
Анатолий Михайлович
Пр. занятия: Ефремов
Александр Александрович
Томск, 2015
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Литература:
Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные
преобразования и операционное исчисление.- М,
Физматгиз, 1961.
Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э.
Математические основы теории управляемых
систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969.
М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение
в теорию. — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во
Моск. ун-та, 1979.
Васильева А. Б., Тихонов Н. А. Интегральные
уравнения. — 2-е изд, стереот.. — М: ФИЗМАТЛИТ,
2002.
Кориков А.М. Основы теории управления: 2-е изд.
– Томск: Изд-во НТЛ, 2002.
Интегральные преобразования
Метод интегральных преобразований –
мощное средство решения
дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений.
Использование интегральных
преобразований позволяет свести
дифференциальное, интегральное или
интегро-дифференциальное уравнение к
алгебраическому, а также, в случае
дифференциального уравнения в частных
производных, уменьшить размерность.
Интегральные преобразования задаются формулой:
где функции f, Tf называются оригиналом и изображением
соответственно, и являются элементами некоторого
функционального пространства L , при этом функция K
называется ядром интегрального преобразования.
Большинство интегральных преобразований являются
обратимыми, то есть по известному изображению можно
восстановить оригинал, зачастую также интегральным
преобразованием:
Свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у
них довольно много общего. Например, каждое интегральное
преобразование является линейным оператором.
Линейные интегральные уравнения
Это интегральные уравнения, в которые неизвестная
функция входит линейно:
(1)
где  (x ) — искомая функция, K(x,s), f(x)— известные
функции,  — параметр. Функция K(x,s)
называется ядром интегрального уравнения. В
зависимости от вида ядра и свободного члена
линейные уравнения (1) можно разделить еще на
несколько видов.
Уравнения Фредгольма 2-го рода
Пределы интегрирования могут быть как конечными,
так и бесконечными.
Ядро K(x,s) и f(x) либо непрерывны, либо
удовлетворяют условиям
Уравнения Фредгольма 1-го рода
Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и
уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них
отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию
вне интеграла:
при этом ядро и свободный член удовлетворяют
условиям, сформулированным для уравнений
Фредгольма 2-го рода.
Уравнения Вольтерра
Уравнения Вольтерра отличаются от уравнений
Фредгольма тем, что один из пределов интегрирования
в них является переменным:
Нелинейные интегральные уравнения
Многообразие нелинейных уравнений велико, поэтому
дать им полную классификацию не представляется
возможным. Укажем некоторые типы таких уравнений,
имеющие большое теоретическое и прикладное
значение:
1. Уравнение Урысона
2. Уравнение Гаммерштейна
Нелинейные интегральные уравнения
(продолжение)
3. Уравнение Ляпунова — Лихтенштейна
4. Нелинейное уравнение Вольтерра
Формулы обращения Фурье
Задача состоит в нахождении неизвестной функции
f(y) по известной функции g(x)
Решение её получил Фурье в 1811 г.
Примеры


(
s
)
e

 its
ds  2 e
i

 ( s) 

e
e


i
 its
2
dt 
2
1 s
Пример
К нелинейным интегральным уравнениям Вольтерра
приводит задача Коши для ОДУ
Это уравнение можно проинтегрировать по t от a до t:
Решение начальной задачи для ОДУ приводит к
линейным интегральным уравнениям Вольтерра 2-го
рода.
ЭЛЕМЕНТЫ ТФКП
Приложение 1 (с.445-472) из [Гноенский
Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э.
Математические основы теории управляемых
систем. - М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969].
1. Комплексные числа. Функции и пределы.
2. Ряды с комплексными членами.
Некоторые элемент. функции. 
Теорема 1 (Абеля).Если ряд  a n ( z  z 0 )
n0
сходится при z=z0, то он сходится при
всяком z таком, что |z-a|<|z0-a|.
n
3. Производная. Аналитические
функции
f ( z )  lim
'
z 0
f ( z  z )  f ( z )
z
Теорема 2. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
была дифференцируемой в некоторой точке z=x+iy,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
следующие два условия:
1. Функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке
(x,y).
2. В этой точке выполняются условия Коши-Римана
u v u
v

;
 .
x y
y
x
4. Интеграл функции комплексного
переменного. Основная теорема Коши
~
L L
x  x(t ), y  y (t ) (t 0  t  T )
z 0 , z1 , ... , z n
z k , z k 1
 k   k  i k
n 1
S n   f ( k )z k
(4.1)
 f ( z )dz
( 4. 2 )
k 0
L
f ( k )  u ( k , k )  iv ( k , k ), z k  x k  iy k .
n 1
S n   [u ( k , k )  iv ( k , k )]( x k  iy k ) 
k 0
n 1
  [u ( k , k )x k  v( k , k )y k ] 
k 0
n 1
 i  [v( k , k )x k  u ( k , k )y k ].
(4.3)
 f ( z )dz   [udx  vdy]  i  [vdx  udy]
(4.4)
k 0
L
L
L
z (t )  x(t )  iy (t )
 f ( z )dz   [udx  vdy]  i  [vdx  udy] 
L
L
L
  [ux   vy ] dt  i [vx   uy ] dt 

L
T
L
  (u  iv )( x   iy )dt 
t0
T
 f ( z (t )) z (t )dt
t0
(4.5)
z  z 0  re

C
dz

z  z0
it
2
(0  t  2 )
it
rie
0 re it dt  2i (4.6)
Теорема 3 (Коши).
Если функция f(z) аналитическая в
односвязной области G, то интеграл от
функции f(z) по всякому замкнутому
контуру Г, целиком лежащему в
области G, равен нулю.
Обобщение теоремы Коши
Теорема 4.Если функция f(z) аналитическая
всюду внутри многосвязной области G и на её
границе, то интеграл по границе области равен
нулю, в предположении, что граница области G
обходится по следующему правилу:
положительным направлением при движении
по границе считается такое направление, при
котором часть области, непосредственно
примыкающая к границе, находится слева.
Следствие. Если замкнутый контур 
лежит внутри замкнутого контура Г, а
функция f(z) аналитическая между этими
контурами и на них, то
 f ( z)dz   f ( z)dz.


L
z
f ( z )dz   f ( z )dz  F ( z ). F ( z )  f ( z )
z0
( z )  F ( z )  C
z
 f ( z )dz  ( z )  ( z
z0
0
)
5. Интегральная формула Коши.
Интеграл типа Коши и производные от
аналитических функций
Теорема 5. Если функция f(z)
аналитическая внутри односвязной
области G и на её границе Г, а z –
внутренняя точка области G, то
1
f ( )
f ( z) 
d

2i    z
(5.1)
Формула (5.1) называется интегральной
формулой Коши.
1
f ( )
F ( z) 
d
k

2i L (  z )
(5.2)
1
kf ( )
F ( z ) 
d
k 1

2i L (  z )
(5.3)
F
(n)
k (k  1)...( k  n  1)
f ( )
( z) 
d
kn

2i
L (  z )
(5.4)
Теорема 6. Если функция f(z)
аналитическая внутри области G и на её
границе Г, а z – внутренняя точка
области G, то f(z) имеет производные
всех порядков в области G и производная
порядка n в точке z может быть
вычислена по формуле
f
(n)
n!
f ( )
( z) 
d
n 1

2i  (  z )
(5.5)
6. Ряды аналитических функций. Ряды
Тейлора и Лорана. Особые точки
Теорема 7. Если ряд n1 f n ( z ) сходится
равномерно на кусочно-гладкой дуге L, а
члены этого ряда непрерывные на L
функции, то сумма ряда будет
непрерывной на L функцией и ряд этот
можно интегрировать почленно:




f n ( z )dz    f n ( z )dz
L 
n 1
n 1 L


f
n 1
n
( z)  f ( z)
(6.1)
(6.2)
Теорема 8 (Вейерштрасса). Если члены
ряда (6.2) являются аналитическими
функциями в области G и ряд (6.2)
сходится равномерно на всякой области
G*, целиком лежащей в области G, то
1. Сумма ряда (6.2) является
аналитической функцией в области G.
2. Ряд, составленный из производных
членов ряда (6.2), также будет сходиться
равномерно на всякой области G*,
целиком лежащей внутри области G, к
производной от суммы ряда (6.2).

n
a
(
z

z
)
 n
0
(6.3)
n0
Из теоремы 1 следует, что этот ряд сходится
| z  z 0 | r  R.
равномерно на всяком круге
Если f(z) аналитическая в круге | z  z 0 | R.
функция, то она может быть разложена в
степенной ряд вида (6.3), причем радиус
сходимости этого ряда будет не меньше чем R.
Пусть z – произвольная точка внутри круга
| z  z 0 | R.
| z  z 0 | r.
С – окружность
1
f ( )
f ( z) 
d

2i C   z
(6.4)
1
1


  z   z0  z0  z

1
z  z0
(  z 0 )(1 
)
  z0

z  z0
z  z0 n
1

[1 
 ...  (
)  ...] (6.5)
  z0
  z0
  z0

f ( z)   сn ( z  z 0 )
n
(6.6)
n0
1
f ( )
сn 
d
n 1

2i C (  z )
сn 
f
(6.7)
(n)
( z0 )
M
. | c n | n .
n!
R
f ( z 0 )  f ( z 0 )  f ( z 0 )  .....  f ( n 1) ( z 0 )  0,
f n ( z 0 )  0.
y
Г
z
z0

x
0
r | z  z 0 | R

f ( z)   сn ( z  z 0 ) 
n
n0



n  1
сn ( z  z 0 ) n
(6.8)
1
f ( )
1
f ( )
f ( z) 
d 
d


2i    z
2i    z
1
f ( )
n
d   с n ( z  z 0 )

2i    z
n0
(6.9)

1
f ( )
сn 
d
n 1

2i  (  z )
(6.10)
(6.11).
c m
c 1
c 2

 ... 
2
z  z0 ( z  z0 )
( z  z0 ) m

lim f ( z )  lim [ c n ( z  z 0 ) n ]  c0
z  z0
z  z0
n0
sin z
z0
z
2
2n
sin z
z
z
n
 1
 ...  (1)
 ...
z
3!
(2n  1)!
sin z
z  0; 1 z  0 /
z
c m
c 1
f ( z) 
 ... 
 c0  c1 ( z  z 0 )  ...
m
z  z0
( z  z0 )

 ( z)
( z  z0 )
m
.
(6.12)
f ( z 0 )  c m  0
lim  ( z )  c  m
z  z0
lim f ( z )  
z  z0
Теорема 9 (Сохоцкого). Если z0 –
существенно особая точка функции
f(z), то каково бы ни было комплексное
число w, существует такая
последовательность точек zn,
стремящаяся к z0, что
Lim f(z)=w
n 
Теорема 10. Если функция f(z) имеет в
точке z0 нуль порядка m, то функция
1/f(z) имеет в точке z0 полюс порядка m.
7. Вычеты. Логарифмический вычет и
принцип аргумента
1
c 1  Выч f ( z ) 
f ( )d

2i C
z0
(7.1)
N
 f ( z)dz  2i Выч f ( z)

k 1
zk 0
(7.2)
Теорема 11. Пусть функция f(z)
аналитическая на замкнутом контуре Г
и всюду внутри этого контура, за
исключением конечного числа
изолированных особых точек
z1 , z 2 , ... , z N .
Тогда
N
 f ( z)dz 2i Вычf ( z

k 1
zk
k
). (7.3)
Теорема 12. Если функция f(z)
аналитична на замкнутом контуре Г и
не обращается на этом контуре в нуль,
а внутри контура Г имеет конечное
число полюсов и нулей, то число
оборотов вектора w=f(z) вокруг начала
координат, когда z пробегает контур Г в
положительном направлении, равно
разности между суммой кратностей
всех нулей и суммой кратностей всех
полюсов функции f(z) внутри контура Г
Q=M-N
(7.4)
Операционное исчисление
Приложение 2 (с.472-502) из
[Гноенский Л.С., Каменский Г.А.,
Эльсгольц Л.Э. Математические основы
теории управляемых систем. - М.: Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1969].
f (t )
Re p  s0
 f (t )
F ( p)
F ( p)
Преобразование Лапласа

F ( p) 

f (t )e  pt dt
(1)

0
F ( p) 

f (t )e  pt dt
(1, а )

c  i
1
pt
f (t ) 
F
(
p
)
e
dp

2 i c  i
(2)

p  c  i
F ( p)  L[ f (t )] 
 3
1
f (t )  L [ F ( p)]

( p)  p f (t )e pt dt
0
 ct
|
f
(
t
)|
e
dt  

0
 ( p)  pF ( p) (4)
c  i
1
 ( p)
f (t ) 
dp

2 i c  i p
Наименование
Свойство(Flim
ff ((F
t
ppfF
)(t(pt
))p)()fF
pF
aat
tF
)
F
p))p()(at )p;) A 
eA
p1
(f)
)apt(
линейности

n(ap
nt)
1
p0
22
Теорема
подобия
Оригинал
f (t ) f1(t )  f2 (t ) A  F ( p) F1( p)  F2 ( p)
f (at )
Теорема
запаздывания
Теорема
смещения
в комплексной
плоскости
Правило
дифф-вания
при нулевых
н. у.
Теорема
о
конечном
Изображение
Лапласа
(1 a)F ( p a)
e  ap F ( p)
f (t  a)
et f (t )
f
( n)
(t )
f ( )
F ( p  )
pnF ( p)
lim pF ( p)
p0
Теорема запаздывания (смещения)
f (t  a)
F ( p)  L [ f (t )]

L [ f (t  a)]   f (t  a)e pt dt 

  f ( )e
0
 p( a  )


f ( )e p( a ) d 
a
d  e apF ( p)
0
f
f
f(t)
f(t-a)
a
0
0
t
t
Теорема об установившемся
(конечном) значении
lim f (t )  lim pF ( p)  lim  ( p) (5)
t 
p 0
p 0

df  pt
0 dt e dt   ( p)  f (0) (6)

df  pt
( p)  f ( 0)
0 dt e dt  lim
p0
lim f (t )  f ( 0)  lim ( p)  f ( 0)
t 
p0
Теорема о начальном значении
f (0)  lim f (t )  lim pF ( p)  lim  ( p)
t 0
t
df  pt
0 dt e dt 
p 
p 
(7)

M
df  pt
df  pt
0 dt e dt  M dt e dt , M  0 (8)
M
M
df  pt
1
 df 
 df 
 pt
 pM
e
dt

e
dt


(
1

e
)
0 dt

 dt 
 dt 
 t  M 0
 t  M p
M
df  pt
lim  e dt  0
p
dt
0

df  pt
 pM
e
dt

e
M dt

df
 pM
dt

e
 f ()  f ( 0)
0 dt
Теорема свертки
t


L  x(t )   x1 ( ) x2 (t   )d   X ( p)  X 1 ( p) X 2 ( p) (9)
0



t
 [ x ( ) x
1
0
2
(t   )d ]e
 pt
dt 
0

t
0
0
  e  pt [  x1 ( ) x 2 (t   )d ]dt 


0

  d  e  pt x1 ( ) x 2 (t   )dt 


0
0
  x1 ( )e  p d  x 2 (t   )e  (t  ) p dt
Правила дифференцирования в
общем случае


f (t )e  pt dt 
0
e
 pt


f (t ) 0  p  f (t )e
 pt
dt 
0
 pF ( p)  f (0)

L f
( n)

n 1
(t )  p F ( p)  p
n
f (0)  ...  f
( n 1)
(0)
Пример: решение
дифференциального уравнения
Q ( p) y(t )  R ( p)u(t )
Q( p)Y ( p)  Q0 ( p)  R ( p)U ( p)
R ( p)U ( p)  Q0 ( p)
Y ( p) 
Q ( p)
Теорема разложения
A ( p)
F ( p) 
B ( p)
B( p)  ( p  p1)( p  p2 ) ... ( p  pn )
n
A( p)
A1
An
Ai
F ( p) 

 ... 

B ( p) p  p1
p  pn i 1 p  pi
A( p)( p  pi ) A1 ( p  pi ) A2 ( p  pi )



B ( p)
p  p1
p  p2
An ( p  pi )
 ...  Ai  ... 
p  pn
A ( p)( p  pi )
Ai  lim

p pi
B ( p)
lim  A( p)
 A( p)


 B ( p)   B ( p)
lim
p pi
p pi
 p p 
i 

p pi
p pi
d
lim
B ( p)
p pi dp
B ( p)
lim

  B ( p) p p
i
p pi p  p
d
i
lim
( p  pi )
p pi dp
 A( p ) 
Ai  


B
(
p
)

 p  pi
10
f (t )   Ai e
F ( p)  
i 1
n
i 1
n
 A( p ) 
pi t
 
e


B
(
p
)
i 1 
 p  pi
Ai
p  pi
n
pi t
(11)
p1  0
B( p)  pB1( p)
A( p)
A( p)
A1
A2
An
F ( p) 



 ... 
B ( p) pB1( p)
p p  p2
p  pn
 A ( p) 
A (0)
A1  


 B1 ( p)  p0 B1 (0)
A2 p
An p
pF ( p)  A1 
 ... 
p  p2
p  pn
n
f (t )  A1   Ai e
i2
pi t
n
 A( p ) 
A(0)
pi t

 
e
B1 (0) i  2  B ( p )  p  p
i
12
Вторая теорема разложения
Пусть F(p) является изображением оригинала f(t) и
выполнены следующие условия:
1. Существует такая последовательность дуг
окружностей
Cn | p | Rn , Re p  a
таких, что
M n  max | F ( p) | 0 n  .
Cn
2. В каждой области, ограниченной соседними дугами
и отрезками прямой Re p = a, содержится
C n , C n1
p1n , p2n , ..., pknn
конечное число полюсов
функции F(p).
Тогда
Вторая теорема разложения
(продолжение)

kn
f (t )  
n 1  1

f (t )  
n 1
Выч[ F ( p)e
pt
]
pk( n )

Выч[ F ( p)e
pn
pt
] (11, a)
Следствие. Если все особые точки функции
F(p) – полюсы и n k кратность полюса p k
k=1,2, …, m, то
nk 1
m
1
d
nk
pt
f (t )  
lim
[( p  p k ) F ( p)e ]
n

1
k
p  pk dp
k 1 ( n k  1)!
A ( p)
F ( p) 
B ( p)
A( pk )  0, B( pk )  0, B( pk )  0, k  1,2,..., m
 A( p k )  pk t
f (t )   
e

k 1  B  ( p k ) 
m
(11)
Преобразование Лорана
(z – преобразование)

f (n), n  0,1,... F ( z )   f (n) z  n
n0
f (n) n  0 | f (n) | Mq n
| z | q
1
n 1
f ( n) 
F ( z )z

2 i 
f (n)   Выч[ F ( z ) z
k
zk
(14)
n 1
] (15)
(13)
Оригинал
z-преобразование
f1 [n]  f 2 [n]
zfF
Оригинал
[(1zn1z[F
]n)fzf]([)([F

F
()F
(z] ) -преобразование
lim
znzn)]2)](zfF
1f(
2)[2n
znz
0
1 f [ k ] f [ n  k ]
1
2

k 0
lim f [n]
n0
lim f [n]
n

 f [k ] f [n  k ]
1
k 0
2
F1 (z )  F2 (z )
lim F (z )
z 
lim F (z)
z 1
F1 (z )  F2 (z )
Характеристические функции
Пусть X – случайная величина с распределением F.
Характеристической функцией распределения F (или
случайной величины X) называется функция 
определенная для действительных 
формулой
 ( ) 

ix
e
 F{dx}  u( )  iv ( ), (1)

где
u ( ) 

 cos xF{dx},
v( ) 


 sin xF{dx}

Для распределения F с плотностью f имеем
 ( ) 

ix
e
 f ( x)dx (3)

(2)