Глава №3: «Определенный интеграл» §1. Определения

«Определенный интеграл»
Определения.
Основные термины.
Свойства определенного интеграла.
Определение:
b
Под определенным интегралом
 f ( x)dx
a
от данной непрерывной функции f (x)
на данном отрезке a; b понимается
соответствующее приращение ее
первообразной,

b
т.е. .

 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Теорема 1:
(из теоремы Коши-всякая непрерывная
функция на отрезке a; b имеет
первообразную) Для всякой функции,
непрерывной на отрезке a; b, существует
соответствующий определенный интеграл.
Теорема 2:
Определенный интеграл от непрерывной функции
не зависит от выбора первообразной функции для
подынтегральной функции.
Свойства:
1.
b
b
f
(
x
)
dx

f
(
t
)
dt


a
a
2.
b
f
(
x
)
dx

0

a
3.
b
a
a
b
f
(
x
)
dx


f
(
x
)
dx


4
Если
то
f (x) непрерывна на a; b; a; c ; c; b ,
b
c
b
a
a
c
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx



5.
b
b
a
a
Af
(
x
)
dx

A
f
(
x
)
dx


6. Определенный интеграл от алгебраической
суммы конечного числа непрерывных функций
равен такой же алгебраической сумме
определенных интегралов от этих функций.
f (x)
7. Если подынтегральная функция
определенного интеграла непрерывна и
неотрицательна и
,
b
то
 f ( x)dx  0
a
ab
8. Если
b
то

a
f ( x)  g ( x)
b
и
ab
f ( x)dx   g ( x)dx
a
,
9. Теорема о среднем:
f b(x) - непрерывная функция
·
f
(
x
)
dx

(
b

a
)

a
f (c ) , где c  a; b
Геометрический смысл
определенного интеграла.
b
Теорема: Определенный интеграл
f
(
x
)
dx

a
от непрерывной неотрицательной функции при
a  b равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.
Определенный интеграл с
переменным верхним пределом
Производная определенного интеграла
с переменным верхним пределом по
этому пределу равна значению
подынтегральной функции для этого
предела.
Интегрирование по частям в
определенном интеграле
b
b
uv
'
dx

uv

vu
'
dx


b
a
a
a
Замена переменной в определенном инте
Введем новую переменную

b
x   (t ) ,
t,
 f ( x)dx   f ( (t )) ' (t )dt
a

 f ( (t )) ' (t )dt  F ( (t ))
b
 F (b)  F (a)   f ( x)dx
a


 F ( (  ))  F ( ( )) 
Площадь в прямоугольных
координатах.
1.Рассмотрим криволинейную трапецию,
ограниченную линиями y  f (x) ,
,
,
.
xa x b
b
y0
S   f ( x)dx, f ( x)  0, x  a; b
a
2.В более сложных случаях фигуру
стараются представить в виде суммы
или разности криволинейных
трапеций.
b
S   ( f1  f 2 )dx
a
Длина дуги.
Определение: Под длиной дуги АВ
понимается предел, к которому стремится
длина ломанной линии, вписанной в эту
дугу, когда число звеньев ломанной
возрастает неограниченно, а длина
наибольшего звена ее стремится к нулю.
b
L   1  ( y) dx
2
a
Определение:
Назовем кривую гладкой, если
функция, задающая кривую,
непрерывна и имеет непрерывную
производную.
Теорема 1:
Всякая гладкая кривая имеет
определенную конечную длину
дуги.
Тeорема 2:
Дифференциал дуги в прямоугольных
координатах равен :
dl  (dx)  (dy )
2
2
Объем тела вращения.
b
1.
Vx    y dx
2
a
d
2.
Vy    x dy
2
c
;
Приближенные вычисления
определенных интегралов
1.Формула трапеции:.
yi  yi  1 n1 yi  yi  1 y0
yn
S   Si  
h  h
 h(  y1  ...  yn1 
2
2
2
2)
i 0
i 0
i 0
n 1
n 1
2.Формула Симпсона.
b
S   f ( x)dx  h ( y  yn  2( y  ... y )  4( y  y  ... y ))
2
n2
1 3
n1
3 0
a
Несобственные интегралы
Если нарушается хотя бы одно из условий,
b
то

a
f ( x)dx
называется
несобственным интегралом.
Определение:
Если положительный предел существует, то
интеграл называется сходящимся, в
противном случае – расходящимся.