к теме 20

Объекты изучения:
1. неопределенный интеграл
2. определенный интеграл
3. обобщения определенного интеграла
1. Начинаем изучение с неопределенного интеграла.
Цель: а) решить задачу, обратную дифференцированию – по
виду производной функции восстановить саму функцию,
т.е. найти первообразную.
б) подготовить аппарат для работы с определенным
интегралом, имея ввиду формулу Ньютона-Лейбница.
2. Определенный интеграл.
Объект, совершенно отличный от неопределенного
интеграла по своей природе.
Вводим, как предел суммы специального вида –
интегральной суммы.
Цель: геометрическая, физическая, техническая задача
вычисления интегральных характеристик.
Вопрос: каких характеристик? Т.е. какие функции можно для
этого использовать.
В связи с этим приходим к выделению класса
интегрируемых функций.
Все возможные функции
Класс дифференцируемых
функций
Непрерывные функции
Класс интегрируемых функций
(достаточные условия )
3. Обобщаем определенный интеграл на функцию нескольких
переменных.
Однако, в зависимости от области определения, будем получать
разные объекты:
b

a
f ( x)dx
D – плоскость,
f – функция двух переменных
Получаем двойной интеграл.
 f (M )ds
D
D – область в пространстве,
f – функция трех переменных
Получаем тройной интеграл.

f ( M )dv
V
b
 f ( x)dx
a
D – прямая в пространстве,
f – функция трех переменных
Получаем криволинейный
интеграл.
D – поверхность в пространстве,
f – функция трех переменных
Получаем поверхностный
интеграл.
 f (M )dl
K
 f (M )ds
S
Общее для всех:
Каждый интеграл построен как предел суммы специального вида
b
n
 f ( x)dx  lim  f ( )x
 f (M )ds  lim  f (M ) s
i
 0
a
D
k
k 1
f
(
M
)

l
f ( M )dl  lim

k
k
 0
k 1
K
 f (M )dv  lim  f (M
 0
k
n

n
V
i 1
n
 0
i
k
) vk
k 1
f
(
M
)
ds

lim
f
(
M
)



k
k

 0
n
S
k 1