Неопределенный интеграл

Определенный интеграл
8--1 Основная формула интегрального исчисления
8--2 Методы вычисления определенного интеграла
8-3 Вычисление площадей плоских фигур
8--4 Несобственные интегралы
Эпиграф
Нет
ни
одной
области
математики, … которая когданибудь не окажется применимой
к явлениям действительного
мира.
Н.Лобачевский
2
Основная формула
интегрального
исчисления
Формула ННььююттооннааЛейбница Свойства
ооппррееддееллееннннооггоо
ииннттееггррааллаа Примеры
Формула Ньютона-Лейбница
Определенный интеграл на отрезке [a, b] от функции f
(x), непрерывной на этом отрезке, есть приращение ее
первообразной F(x) на [a, b] :
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Формула Ньютона-Лейбница
для вычисления определенного
интеграла
Обсуждение обозначений
Пишут также:
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a)
a
Читается «интеграл от a до b эф от икс дэ икс».
Числа a и b называются верхним и нижним пределом
интегрирования.
Функция f(x) называется подынтегральной функцией,
- подынтегральным выражением.
f(x)dx
Различие между интегралами
Неопределенный
интеграл
Определенный
интеграл
b
 f ( x)dx
 f ( x)dx
a
Функция
Число
Пример
Вычислить определенный
3
интеграл:
 2xdx
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
Подсказка
a
1
Решение.
3
 2xdx  x
2 3
1
 32  12  9  1  8
1
Нашли
Считаем интеграл
первообразную по формуле Н-Л
Получили
ответ
Свойства определенного интеграла
Свойство 1.
При вычислении можно использовать любую
первообразную F(x) + C, в том числе C = 0.
b
Свойство 2.
a
 f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
a
Свойство 3.
 f ( x)dx  0
a
Нужно уметь проверять
свойства непосредственно при
помощи формулы НьютонаЛейбница.
Свойства определенного интеграла
Свойство 4.
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
где c  [a, b]. Это означает, что отрезок
интегрирования можно разбить на части.
Свойство 5.
Теорема о среднем (следующий слайд).
Нужно уметь проверять
свойства непосредственно при
помощи формулы НьютонаЛейбница.
Свойство 5. Теорема о среднем
Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
найдется такая точка c  [a, b], что:
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a)
a
Методы интегрирования
Применение ффооррммууллыы
ННььююттооннаа-Лейбница Замена
переменной в ооппррееддееллеенннноомм
ииннттееггррааллее Интегрирование «по
ччаассттяямм»
Замена переменной
Замена переменной в определенном интеграле требует и
замены пределов интегрирования:
 (b)
b
 f ( x)dx   f ( (t))d (t)
a
 (a )
Условия использования:
1. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
2. Отрезок [a, b] есть множество значений функции x =
имеющей непрерывную производную.
 (t),
Пример
Вычислить интеграл: 1
2 3
(1
x
) xdx

0
Решение.
t  1 x 2 x 0 1
2 3
1
(1
x
)
xdx


xdx  dt t 1 2 
0
2
1
2
2
4
4
t
2
1
15
3
  t dt 

 
24
21
8 8
8
1
1
4
Интегрирование по частям
b
 udv  (uv)
a
b
a
b
  vdu
a
Условие использования:
Функции u (x) и v (x) имеют непрерывные производные на
отрезке [a, b].
Пример
Вычислить интеграл:
2
 xe dx
x
1
Решение.
du  dx
x
xe
 dx  e x dx  dv v  ex 
1
u x
2
2
 xe
x 2
1
  e dx  2e  e  e
x
1
2
x 2
1
 2e 2  e  e 2  e  e 2
Вычисление площадей
плоских фигур
Задача о ппллоощщааддии
ккррииввооллииннееййнноойй ттррааппееццииии
Составление ииннттееггррааллььнноойй
ссууммммыы
Классическое определение определенного интеграла
Геометрические приложения
Задача о площади криволинейной трапеции
Область под кривой, ограниченная прямыми x=a и x=b,
называется криволинейной трапецией.
y
y = f (x)
y
si
а
b
x
а
 xi
Площадь si =
f (xi) ·
b
x
xi
Интегральная сумма
Пусть функция y = f (x) задана на отрезке [a, b]. Разобьем
весь отрезок на n промежутков точками x0, x1, …, xn:
a  x0
 x1 ... xn1  xn
b
На каждом отрезке разбиения [xi-1, xi] выберем точку сi и
положим:
xi  xi  xi 1
Интегральной суммой для функции y = f (x) на отрезке [a, b]
n
называется:
Sn
  f (ci )xi
i 1
 Иванов О.В. Кудряшова Л.В. 2005
18
Классическое определение
Пусть предел интегральной суммы Sn при стремлении max  xi к
нулю существует и не зависит от выбора точек x1, x2, … и c1,
c2…. Тогда этот предел называется определенным
интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a, b]:
b
 f ( x)dx 
a
n
lim
 f (c )x
max xi 0 i 1
i
i
Сама функция в этом случае называется интегрируемой (по
Риману) на отрезке [a, b].
Пример
Найти площадь фигуры,
ограниченной линиями
y  x2
y x
yx
2
y x
Решение
Находим определенный интеграл:
1
S
0

 x3\2 x3 
1
2
1
| 
x  x dx  

 3\ 2
3 0 3



Приложения
Два примера нахождения площадей
Пример
Найти площадь, ограниченную линиями
y=6–xxy=5
Найти площадь этой фигуры
Решение
Находим определенный интеграл:
5
5

S    6  x  dx 
x

1
dx  6 x  х2
 6 dx   xdx  5

2
x

1
1
1
5
5

 5ln x  15 


25
1
 30   5ln 5  6   0  12  5ln 5
2
2
|