Построение и преобразование графика функции y=sin x 1 Единичная тригонометрическая окружность y 3 4 2 3 2 900 1200 600 1350 3 450 5 6 1500 4 300 1800 O 6 00 0 3600 2 0 3300 11 7 210 6 6 0 0 315 5 225 7 4 2400 3000 4 4 5 2700 3 3 3 2 2 х Радианная мера угла Рассмотрим окружность радиуса R. Построим MOP: МР = R Величина МОР равна 1 радиан М МР5717’ =1рад R 1 радиан О R МОР5717’= 1рад Р =1803,14 рад 360 180 1рад 2 2 1 360 180 3 Радианная мера угла Окружность, радиус которой равен 1, называется единичной … Длина окружности выражается формулой C=2R, где R – радиус окружности. 3,14159... y М 3 2 А О 4 В С Длину единичной окружности удобно измерять в радианах. 6 Если R=1, то С=2 рад Р 1 N 2 х 2 3 2 4 К Длина дуги половины окружности равна рад. рад – четверть длины окружности 3 рад – три четверти длины окружности 2 Точки М,Р,К,N – назовем узловыми. Отметим точки А,В,С. ! Наименование радиан обычно опускают. Радианная мера угла Итак, величину угла поворота точки, а также величину дуги единичной окружности, можно задавать: в градусной мере II четверть 90 в радианной мере II четверть I четверть 60 45 2 I четверть 3 4 30 О 180 00 3600 III четверть 5 270 Градусная мера 00 Радианная мера 0 300 6 450 4 600 3 900 2 0 2 3 2 III четверть IV четверть 6 О IV четверть 1800 2700 3600 3 2 2 y=sin x Построение графика Установим соответствие между множеством действительных чисел на числовой прямой и точками единичной окружности. 3,14 2 «Размотаем» окружность как нить на координатный луч с началом в точке 0 3 4 6 2 0 2 3 2 2 6 4 3 3 2 6 Такое «разматывание» можно продолжать бесконечно. х Построение графика По определению sin y R sin y Для единичной окружности Отметим в плоскости точки с координатами (x; sin x). y 3 5 4 6 2 2 3 3 4 6 20 7 6 5 4 7 11 7 6 4 3 3 2 5 3 4 0 6 4 3 2 2 3 5 3 4 6 7 5 4 3 5 7 11 6 4 3 2 3 4 6 2 x Построение графика Соединив полученные точки, получим график функции y=sin x на промежутке [0; 2]. y 1 0 6 4 3 -1 8 2 3 5 2 3 4 6 7 5 4 3 5 7 11 6 4 3 2 3 4 6 2 x Построение графика Учитывая периодичность функции синус, построим ее график на всей области определения 9 Синусоида Синусоида - волнообразная плоская кривая. 10 Колебания маятника N mg 11 Применение гармонических колебаний • акустика • оптика • статистика • медицина (ультразвуковое исследование, компьютерная томография) • фонетика • компьютерная графика • кристаллография. • электронная техника • теория музыки 12 Преобразование графиков y = f (x) Функция Преобразование 1 y= f (x) + m Параллельный перенос вдоль оси OY на m единиц 2 y= f (x – n) Параллельный перенос вдоль оси OX на n единиц 3 y=А f (x) Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y= f (k x) Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 5 y= – f (x) Симметричное отражение относительно оси OX 13 6 y= f (– x) Симметричное отражение относительно оси OY Параллельный перенос вдоль оси OY на m единиц y=f(x)+4 y=f(x) y=f(x)-3 14 Параллельный перенос вдоль оси OX на n единиц y=f(x+3) y=f(x) 15 y=f(x-2) Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз y=2 f(x) y=¼ f(x) y=f(x) 16 Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз y= f(3x) y=f(x) y=f(x/2) 17 Симметричное отражение относительно оси OX y=– f(x) y=f(x) 18 Симметричное отражение относительно оси OY y=f(–x) 19 y=f(x) Построим график функции y= 3 sin(2x+/3)–2 Этапы построения: 1. y= sin x – синусоида 2. y= sin 2x – сжатие в 2 раза вдоль оси Ох 3. y= sin(2x+/3) – перенос на /3 единиц влево 4. y= 3 sin(2x+/3) – растяжение в 3 раза вдоль оси Oy 5. y= 3 sin(2x+/3)–2 – перенос на 2 единицы вниз 20 Построение графика y=3sin(2x+/3)–2 1. y= sin x 21 Построение графика y=3sin(2x+/3)–2 2. y= sin 2x 22 Построение графика y=3sin(2x+/3)–2 3. y= sin (2x+/3) 23 Построение графика y=3sin(2x+/3)–2 4. y= 3 sin (2x+/3) 24 Построение графика y=3sin(2x+/3)–2 5. y= 3 sin (2x+/3) – 2 25 Преобразование графиков y = Asin(kx–n)+m Функция Преобразование 1 y=sin(kx) Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз 2 y=sin(x–m) Параллельный перенос вдоль оси OX на m единиц 3 y=А sin x Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А раз 4 y=sin x+n Параллельный перенос вдоль оси OY на n единиц 5 y= – sin x Симметричное отражение относительно оси OX y= sin (–x) Симметричное отражение относительно оси OY 26 6 Программа построения графиков AdvancedGraffer 27 Некоторые свойства функции y=sinx 1. Функция y=sin x существует при всех действительных значениях x, причем, график ее является сплошной линией (без разрывов), т.е. функция непрерывна. 2. Функция y=sin x нечетная, ее график симметричен относительно начала координат 3. Наибольшие и наименьшие значения. Все возможные значения функции sinx ограничены x n неравенством -1sinx1, причем sin x=1, если 2 3 n sin x= – 1 , если x 2 4. Нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс): sinx=0, если x=n. (nZ) 28