Лекция 3.9. Основные характеристики скалярных полей

Т.А. Матвеева, Н.Г. Рыжкова
Курс высшей математики
Лекция 9
Векторный анализ – теория поля.
Основные характеристики
скалярных полей
УГТУ-УПИ
2008г.
Цель:
Рассмотреть основные характеристики
скалярных полей и их связь.
Формируемые компетенции:
ОНК1, ОНК2, ОНК3, ИК1, ИК4
Лекция 9
Векторный анализ – теория поля.
Основные характеристики скалярных полей
1. Геометрические характеристики
2. Дифференциальные характеристики
3. Интегральные характеристики
4. Связь характеристик скалярного поля
1.
Геометрические характеристики
скалярного поля поверхности и линии уровня.
Определение.
Поверхностью уровня скалярного поля
u  u (P)
называется геометрическое место точек,
удовлетворяющих уравнению
Q : u ( P)  const
Поверхность уровня
 эквипотенциальная поверхность
Линия уровня
плоского поля
- геометрическая характеристика
P ( x, y )
u  u ( x, y )
L : u ( x, y)  const
При помощи геометрических характеристик
скалярные поля можно рисовать.
Пример 1. Карта температур
Пример 2.
e
u
r
- потенциал точечного заряда.
e
Q :  const 
r
e
Q: c
r
где
c  const
c 1
c4
2.
Дифференциальные характеристики
скалярного поля характеристики отдельной точки поля.
Рассмотрим скалярное поле
u  u ( x, y, z ),
где u ( x, y, z )  дифференцируемая
функция.
1. Производная по направлению
- скалярная характеристика.

S
P ( x, y , z )
~
P ( x  x, y  y, z  z )
 

S S
S

~
S  PP

S  S  x 2  y 2  z 2
Определение.
Производной скалярного поля uP  по направлению

вектора S в точке P
называется число
где
u
u
 lim
S S 0 S
u  u ( x  x, y  y, z  z )  u( x, y, z )
Смысл производной по направлению
Из определения следует:
u
скорость изменения поля u
S

в точке P в направлении S .
u
 0  поле u возрастает
S

в точке P в направлении S .
u
 0  поле u убывает
S

в точке P в направлении S .
u
Формула для вычисления S
~
Рассмотрим u  u ( P )  u ( P) 
 u ( x  x, y  y, z  z )  u( x, y, z ) 
u
u
u
 x  y  z   (  );
x
y
z
  x 2  y 2  z 2  S
u u x u y u z  (  )
 
 
 

Рассмотрим *)
S x S y S z S S
~
Устремим S  0 P
P


cos 
cos 
cos 
0
x
cos  
S
y
cos  
S
z
cos  
S
u u x u y u z  (  )
 
 
 

*)
S x S y S z S S
-направляющие косинусы коллинеарных
векторов S  (x, y, z ) , S
-координаты орта этих векторов
S0 
S
S
 (cos  , cos  , cos  )
Таким образом, при S  0 правая часть
равенства *) стремится к выражению
u
u
u
 cos    cos    cos 
x
y
z
Следовательно, при S  0 существует
предел левой части равенства *)
совпадающий с пределом правой части.
u
S
P
u
u
u

 cos  
 cos  
 cos 
x P
y P
z P
Формула для вычисления производной по направлению
2. Градиент скалярного поля
- векторная характеристика.
Определение.
Градиентом скалярного поля uP  в точке
называется вектор

 u u u 
gradu  u   , , 
 x y z 
Смысл характеристики - позже.
Формула для вычисления – в определении
характеристики.
P
Обозначим
   
   , , 
 x y z 
Формальный дифференциальный векторный
оператор Гамильтона ( оператор “набла”)

  
 u u u 
u   , , u   , , 
 x y z 
 x y z 
Действие оператора “набла” на u
результат
формального умножения “набла” на u .
Свойства оператора “набла”
1°.   u  v   u  v;
2°.   u   u;
3°.   uv   vu  uv;
4°. f  u   f '  u  u;
3. Интегральные характеристики скалярного
поляхарактеристики поля в целом (Integer)
Пример . Поле температур:
 t ( P)d
t


 d

-средняя температура
в области поля Ф.
4. Связь характеристик скалярного поля
1°. Градиент и производная по направлению.
u
Другая запись формулы для вычисления S
u
S
P
u
u
u

 cos  
 cos  
 cos 
x P
y P
z P
u
S

 u , S0
P
P

2°. Смысл градиента.
u
Из формулы 1° следует
u
S
 прS u
P
P

S

Если направление S совпадает с
направлением u в точке Р ,
то значение u
будет наибольшим !
S P
S
Смысл градиента.
u
а) u - направлен в сторону
наибыстрейшего возрастания поля u
б) u  max u
S
Длина градиента численно равна
максимальной скорости возрастания
скалярного поля u
3°. Градиент и поверхности уровня.
Рассмотрим
Q : u ( x, y, z )  c - уравнение поверхности
уровня

 u u u 
gradu  u   , , 
 x y z 
u  n - вектор нормали к
поверхности уровня
Выводы.
1. Градиент направлен по нормали к
поверхности уровня.
2. Направление нормали к поверхности
уровня есть направление
наибыстрейшего изменения скалярного
поля.
Численный метод градиентного спуска для
отыскания экстремума функции нескольких
переменных.
Пример 1.
ux y z ;
2
2
2
u
S
Решение.
u
S


?
P
 u , S0 
P
P
S  (1,1,1);
P(1,1,1);
u   2 x, 2 y, 2 z 
u   2, 2, 2 
P
S
6

0
3
(1,1,1)
S0 

;
3
S
В точке Р в направлении S поле возрастает с
6.
максимальной скоростью
3
Пример 2.
u  4 ln 3  x 2   8 xyz, Q : x 2  2 y 2  2 z 2  1,
P(1,1,1);
u
Найти
по направлению нормали к поверхности Q
S P
в точке Р, образующей острый угол с положительным
направлением оси Oz .
Решение.

8x
u  (
 8 yz,8 xz,8 xy);
2
u
3 x
 u , S0 

P
S P
u  (6,8,8)


P

n
S0   ;
n P
Из уравнения поверхности
Q : x  2 y  2z  1
2
найдем нормальный вектор

n  (2 x,4 y,4 z );
S0
P
2
2

n P  (2,4,4) 

n P  (1,2,2)
1
 (1,2,2)
3
1
1
 (1,2,2)( 6,8,8)  (6)  2.
3
3
Ответ.
В указанной точке скалярное поле
убывает со скоростью равной двум
единицам.
Пример 3.
Найти угол между градиентами скалярных полей
yz 2
u 2
x
и

в точке P


x3
v
 6 y3  3 6z3
2
1 1 
.
2,
,
2 3
Пример 3.
Найти угол между градиентами скалярных полей
yz 2
u 2
x
в точке
и
x3
v   6 y3  3 6z3
2

1 1 
 .
P 2 ,
,
2 3

Решение.
2
2

  2 yz z  2 yz 
u  
, 2 , 2 ;
3
x
x 
 x
2
3


3
x
x
2
2 
3
3
,18 y , 9 6 z ;
v
 6 y  3 6 z v  
2
 2


 1 1 1 


u   , ,

v

3
,
9
,
3
6
;
P
P
 6 6 6
yz 2
u 2 
x


Для дальнейших вычислений удобно считать


v  1, 3, 6
P

Перейдем к вычислению искомого угла




  1 1 1 

 1 1 1 
 1, 3, 6 /   , ,
 1, 3, 6  
cos    , ,
 6 6 6

 6 6 6


2 2 
3

/  4    ;
3 9 
4
Ответ.
Искомый угол – тупой, его косинус равен
3
 .
4
Основные характеристики скалярных полей
I. Геометрические характеристики
Линии, поверхности уровня
2. Дифференциальные характеристики
Скалярная
u
S P
Векторная
u
P
3. Интегральные характеристики
u 
4. Связь характеристик скалярного поля
Вывод по теме:
Выделяют 3 основные характеристики
скалярных полей: геометрические –
поверхности и линии уровня,
дифференциальные – характеристики
отдельной точки поля и интегральные –
характеристики поля в целом, причем
между ними существуют определенные
связи.
Перечень источников,
список дополнительной литературы по теме.
1. Рекомендуемая литература
1.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Соболев С.К. Вся
высшая математика. Т.1-6. М: Эудиториал УРСС, 2001.
2.
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука,1988.
3.
Сборник задач по математике для втузов/ под ред. Ефимова А.Ф., Демидовича Б.П. Часть 1.М.:Наука, 1986 и более поздние издания.
4.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть
1.-М.: ОНИКС 21 век, 2003.
5.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике, ТР, М.: Высш.шк., 1983.
2. Методические издания
6.
Матвеева Т.А., Рыжкова Н.Г. Высшая математика. Конспект лекций. Часть 3. – Екатеринбург:
ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006, с.167.
7. Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика: Курс лекций для технических вузов. Часть 3. ––
Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006, 142 с.
3. Электронные дидактические ресурсы
8.
Матвеева Т.А., Рыжкова Н.Г. Высшая математика. Электронный конспект лекций. Часть 3.
Формат
MS
Word.
–
распространяется
на
компакт-дисках,
размещается
на
сайте
http://umc.ustu.ru.
9.
Соболев А.Б., Рыбалко А.Ф. Математика. Курс лекций для технических университетов. Часть 3.
Электронная версия, формат PDF. – распространяется на компакт-дисках, размещается на
портале http://study.ustu.ru.
10.
Матвеева Т.А. У истоков профессиональной компетентности. В электронный портфель
студентов. Электронная версия, формат PDF. – распространяется на компакт-дисках, размещено
на порталах http://umc.ustu.ru, , http://exponenta.ru.