Теория потенциала Теория потенциала Теория потенциала

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
6 семестр
Лекция 4
Теория потенциала 1.
14 апреля 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Теория потенциала

f ( x)
u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dy

f ( y )dy
n  3  u( x )  
4 | x  y |

(ньютонов потенциал)
1
n  2  u( x )  
2
 f ( y ) ln | x  y | dy

(логарифмический потенциал)
Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности
n  2  u( x ) 
Q
(n  2) n | x |n 2

 1 
( M , x)

O
, | x | 

n
n 
n | x |
| x| 


 1 
Q
( M , x)

 O  3  , | x |  
 n  3  u( x ) 
3
4 | x | 4 | x |
| x | 


n  2  u( x )  
 1 
Q
( M , x)
ln | x | 

O
, | x | 

2
2 
2
2 | x |
| x | 


Q   f ( y )dy , M   yf ( y )dy    y1 f ( y )dy ,  y2 f ( y )dy ,...,  yn f ( y )dy 






( M , x )  M 1 x1  M 2 x2  ...  M n xn
Теория потенциала
y
|y|
O
n  3, | y | R, | x | 5R
|x y|

|x|
x
| x  y | | x |2  | y |2 2 | x || y | cos 
1
1 
|y|
|y| 

cos  
1  2

| x  y | | x |
|x|
| x |2 
2
1  v 

1  v 
 1  v 
1/2
 (  1)
2(1  ξ) 2
v
3v 2
 1 
2 8(1  ξ)5/2
1/2
1
|y|
| y |2
v ,    , v  2
cos  
2
|x|
| x |2
2
Теория потенциала
1/2
1
1 
|y|
|y| 

1

2
cos




| x  y | | x |
|x|
| x |2 
|y|
| y |2
v
3v 2
1/2
v  2
cos  
, 1  v   1  
2
|x|
|x|
2 8(1  ξ)5/2
2
1
1  |y|
 ( x, y ) 

1
cos  

| x  y | | x | | x |
| x |2 
1
3 | y |2 
|y|
| y |2 
2
2
 ( x, y )   | y | 
4 cos   4
cos  

5/2 
2
8(1  ξ) 
|x|
| x |2 
1
1 11 1
1
| y | R, | x | 5R  | v | 2   1 


 1 ξ 
5
25 25 2
2
R2
3R 2 
4 1 
|  ( x, y ) |

4

 M
5/2 
2 8(1 / 2) 
5 25 
Теория потенциала
1
1  |y|
 ( x, y ) 

1

cos


, |  ( x, y ) | M


2
| x  y | | x | | x |
|x| 
f ( y )dy
1
Q
u( x )  
 u1 ( x )  u2 ( x )  u3 ( x ), u1 ( x ) 
f ( y )dy 

4 | x  y |
4 | x | 
4 | x |

u2 ( x ) 

1
1
|
x
||
y
|
cos

f
(
y
)
dy

( x, y ) f ( y )dy 
3 
3 
4 | x | 
4 | x | 
1
x y  x2 y2  x3 y3  f ( y )dy 
3  1 1
4 | x | 
 ( x, M )
1 

x y f ( y )dy  x2  y2 f ( y )dy  x3  y3 f ( y )dy  
3  1 1
3
4 | x |  
4

|
x
|



| u3 ( x ) |
 1 
1
M

(
x
,
y
)
f
(
y
)
dy

f
(
y
)
dy

O
 | x |3 
4 | x |3 
4 | x |3 


Теория потенциала
u( x )
E ( x, y )
f  C ()  u  C ( R ),

f ( y )dy
xi
xi

1
E  E (r)
n3
E  E ( r )

r | x |
n
 1
 4 | x | , | x | 

E ( x )  
2


1
|
x
|

3

, | x | 

2 
 8 
 
E ( x, y )  E ( x  y )
0  E ( x, y ) 
3
8
Теория потенциала
1

 4 | x  y | , | x  y | 

E ( x, y )  
2


1
|
x

y
|

3
, | x  y | 
 8 
 2 
1
2( xi  yi )

xi  yi



,
|
x

y
|



, | x  y | 
2
 4 | x  y | 2 | x  y |
3

E ( x, y ) 
 4 | x  y |


xi
  1  2 | x  y |  2( xi  yi )  , | x  y |    xi  yi , | x  y | 
 8   2
 4 3
2 | x | 
E ( x, y )  C 1
Теория потенциала
E ( x, y )
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dy , v ( x )  
f ( y )dy
xi


u ( x )
E ( x, y )
u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dy 

f ( y )dy
xi
xi


Схема доказательства
u ( x )  u( x ) g при   0 равномерно в R 3
u
( x )  v ( x ) при   0 равномерно в R 3
xi

u
u C ,
( x)  v( x)
xi
1
Теория потенциала
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dy , u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dy


f  C ()  | f ( x ) | M
| u ( x )  u( x ) |
  E ( x, y )  E ( x, y )  f ( y )dy 

  E ( x, y )  E ( x, y ) f ( y ) dy  M  E ( x, y )  E ( x, y ) dy 

M


 {|x  y | }
E ( x, y )  E ( x, y ) dy  M
  E ( x, y )  E ( x, y ) dy
| x  y |
Теория потенциала
| u ( x )  u( x ) | M
  E ( x, y )  E ( x, y ) dy 
| x  y |
  E ( x  y )  E ( x  y ) dy M   E ( y )  E ( y ) dy 
M
| x  y |
| y |


 M   E ( y ) dy   E ( y ) dy 
 | y | 

|
y
|





| y |
E ( y ) dy 
3
  8
| y |

3
8
dy 
3
2


0
0
0
8
 2  2 
3
3
2
d

sin

d

r
 
 dr 

2
2
Теория потенциала

| y |
dy
1
E ( y ) dy  

4 | y | 4
| y|
2


r 2dr
0 d 0 sin  d 0 r 
1
2 2

 2  2  
4
2
2
2 2 
| u( x )  u ( x ) | M  +  =M  2
 2 2
sup | u( x )  u ( x ) | M  2  0 (  0)
xR 3
u ( x )  u( x ) равномерно в R 3
Теория потенциала
u ( x )
E ( x, y )
E ( x, y )
 
f ( y )dy, v( x )  
f ( y )dy
xi
xi
xi


 xi  yi

, | x  y | 
3

E ( x, y )  4 | x |

,
xi
  xi  yi , | x  y | 
 4 3
E ( x, y )
xi  yi

xi
4 | x  y |3
 E ( x, y ) E ( x, y ) 
u ( x )
 v( x )   

 f ( y )dy 
xi
xi
xi 



E ( x, y ) E ( x, y )
E ( x, y ) E ( x, y )

f ( y ) dy  M 

dy 
xi
xi
xi
xi

Теория потенциала
u ( x )
 v( x )  M
xi

M

| x  y |
M
{|x  y | }
E ( x, y ) E ( x, y )
xi  yi
xi  yi

dy  M  

dy 
3
3
x i
x i
4
4 | x  y |
| x  y |

| y |


yi
yi
yi

dy  M  
dy  
dy 
3
3
3
3


4
4 | y |
4

4

|
y
|
|
y
|


|
y
|




yi
yi
  4
3
dy 
| y |


E ( x, y ) E ( x, y )

dy 
x i
x i
2
1
4

|y|
1
dy

| y | dy 
3
3 

4
4 | y|
| y | 

 d  sin  d  r  r dr  4
2
3
1
0
0
0
3
 2  2 
4
4


4
Теория потенциала

| y |
yi
1
dy  
dy 
3
2
4 | y |
4 | y |
| y | 
1

4
2


0
0
0
 d  sin  d 
1 2
1

r
dr

 2  2    
2
r
4
u ( x )

 5M 
 v( x )  M     
xi
4
4

u ( x )
5M 
sup
 v( x) 
 0 (  0)
3
xi
4
xR
u ( x )
 v ( x ) равномерно в R 3
xi
Теория потенциала
u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dy


y
x 
x
k
k

u

E ( x, y )

f  C ()  u  C ,
  k1 k2
f ( y )dy
kn
kn
k1
k2
x1 x2 ...xn
x1 x2 ...xn

u( x )    x E ( x, y ) f ( y )dy   0  f ( y )dy  0


Теория потенциала
Уравнение Пуассона
u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dy


x 
f  C ()  u  C (), u( x )   f ( x ) ( x  )
1
2
Теория потенциала
Формула интегрирования по частям в Rn

 ( x)  { 1 ( x),..., n ( x)} (|  ( x) | 1)
 
f , g  C1 
f ( x)
g ( x)
 xi g ( x)dx   f ( x) g ( x) i ( x)dS   f ( x) xi dx
Теория потенциала
ei  {0,...0,1,0,...0}
(i  ая координата равна 1, а все остальные нулю)
a ( x )  f ( x ) g ( x )ei ,
 div  a( x)  dx   a ( x)dS



div a ( x ) 



f ( x )
g ( x )
f ( x) g ( x) 
g ( x)  f ( x)
xi
xi
xi

a ( x )  f ( x ) g ( x )ei , ( x )  f ( x ) g ( x ) i ( x )
 f ( x )
g ( x ) 
  xi g ( x)  f ( x) xi  dx   f ( x ) g ( x ) i ( x)dS
f ( x )
g ( x )
 xi g ( x)dx   f ( x) g ( x) i ( x)dS   f ( x ) xi dx
Теория потенциала
n3
E ( x, y )  E ( x  y ) 
E ( x, y )
E ( x, y )

xi
yi
u ( x )
E ( x, y )
E ( x, y )

f ( y )dy   
f ( y )dy 
xi
xi
yi



  lim 
 0

x

E ( x, y )
f ( y )dy 
yi

f ( y ) 
  lim   E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y   E ( x, y )
dy  
 0 

yi

 



f ( y )
  lim   E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y    E ( x, y )
dy
 0 
 
yi
 

Теория потенциала

E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y 

 E ( x, y) f ( y ) ( y )dS
i
y


  E ( x, y ) f ( y ) ( y )dS
i
y
| y  x| 
f  C 1 () | f ( x ) | M
M
E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y 

4
| y  x | 

M
2
dS

4

 M
y

4
| y  x | 

lim

 0
  E ( x, y ) f ( y ) ( y )dS
i
y
0
| y  x|
x
u( x )
f ( y )
   E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y   E ( x, y )
dy
xi
yi


Теория потенциала
u( x )
f ( y )
   E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y   E ( x, y )
dy
xi
yi


Первый интеграл можно дифференцировать как собственный

xi
E ( x, y )
 E ( x, y) f ( y) i ( y)dS y   xi f ( y) i ( y)dS y
Второй интеграл представляет объемный потенциал с плотностью,
равной частной производной первоначальной плотности

f ( y )
E ( x, y ) f ( y )
E ( x, y )
dy  
dy

xi 
yi
xi
yi

Теория потенциала
u( x )
f ( y )
   E ( x, y ) f ( y ) i ( y )dS y   E ( x, y )
dy
xi
yi


 2u ( x )
E ( x, y )
E ( x, y ) f ( y )
 
f ( y ) i ( y )dS y  
dy 
2
xi
xi
xi
yi


E ( x, y )
E ( x, y ) f ( y )

f ( y ) i ( y )dS y  
dy
yi
yi
yi


 n E ( x, y )

 n E ( x, y ) f ( y ) 
u( x )    
 i ( y )  f ( y )dS y    
dy
yi
yi
yi 

  i 1
  i 1
E ( x, y )
 y
Теория потенциала
 n E ( x, y ) f ( y ) 
E ( x, y )
u( x )  
f ( y )dS y    
dy 
 y
yi
yi 

  i 1
 n E ( x, y ) f ( y ) 
E ( x, y )

f ( y )dS y  lim   
dy

 0
 y
yi
yi 

  i 1
Первая формула Грина:


x

f ( y ) y E ( x, y )dy 



0
E ( x, y )
f ( y)
dS y 
 y
 n E ( x, y ) f ( y ) 
  
dy
 i 1  y
 y 
 
Теория потенциала


 n E ( x, y ) f ( y ) 
E ( x, y )
E ( x, y )
f ( y)
dS y   f ( y )
dS y    
 dy

 y
 y
 y
 y 
| y  x | 
  i 1
 n E ( x, y ) f ( y ) 
E ( x, y )
u( x )  
f ( y )dS y  lim   
dy

 0
 y
yi
yi 

  i 1
u( x ) 
E ( x, y )
  y f ( y )dS y 


E ( x, y )
E ( x, y )
   f ( y)
dS y  lim  f ( y )
dS y  
 0
 

 y
 y
| y  x | 


E ( x, y )
 lim  f ( y )
dS y
 0
 y
| y  x|
Теория потенциала
u( x )  lim
 0
 y
y
x

| y  x| 
E ( x, y )
f ( y)
dS y
 y
| x  y | r, E ( x, y ) 
E E
1
E



2
 y r
4 r
 y
u( x )   lim
 0
1
4
| y  x | 
2

| y  x|
f ( y )dS y   lim
 0
1
4 r
,

| y  x|
1
4
2

1
4 2

f ( y )4 2   f ( x )
 y  x (  0)  f ( y )  f ( x ) (  0)

Теория потенциала
x
|x|
O 
|y|
|x y|
y
Потенциал шара с плотностью, зависящей
только от расстояния до центра этого шара.
f (| y |)dy
u( x )  
, | y | r,
4 | x  y |
| y | R
| x  y | r 2  | x |2 2r | x | cos 
u( x ) 

1
sin  d
2
r
f
(
r
)
dr
0 r 2  | x |2 2r | x | cos
4 0
R

1 2
sin  d
  r f ( r )dr 
20
r 2  | x |2 2r | x | cos 
0
R
2
 d 
0
Теория потенциала


0

 r 2  | x |2 2r | x | cos 

2
2
r|x|
r  | x | 2r | x | cos  
sin  d


 

0
r 2  | x |2 2r | x |
r 2  | x |2 2r | x | r  | x | r  | x |



r|x|
r|x|
r|x|
r|x|
R
 r | x | r | x | 
1 2
u( x )   r f ( r ) 

 dr 
20
r|x| 
 r|x|
R
1

rf ( r )  r  | x |  r  | x |  dr

2|x|0
Теория потенциала
R
1
u( x ) 
r f ( r )  r  | x |  r  | x |  dr

2|x| 0
1) | x | R  r | x |  | r  | x ||| x |  r
R
R
1
1
2
u( x ) 
r
f
(
r
)
r

|
x
|

|
x
|

r
dr

r
f ( r )dr




2|x|0
|x|0
2) |x | R
R
1
u( x ) 
r f ( r )  r  | x |  r  | x |  dr 

2|x|0
|x|
R
R
 1 | x| 2
1  2

r f ( r )dr   r f ( r )dr
  r f ( r )dr   r | x | f ( r )dr  

 |x|0
| x |  0
| x|
|x|

Теория потенциала
 1 R 2
r f ( r )dr, | x | R


| x | 0
u ( x )   |x|
R
1
2

r
f ( r )dr   r f ( r )dr, | x | R

| x |
0
|x|

Равномерно заряженный шар
f (| x |)    const
R
R
0
0
|x|
|x|
2
2
r
f
(
r
)
dr


r

 dr 
r
0
2
f ( r )dr    r dr 
2
0
R
R
|x|
|x|
 r f ( r )dr    r dr 
 R3
3
 | x |3
3
  R 2  | x |2 
2
Теория потенциала
  R3
 3 | x | , | x | R

u( x )  
2
2

3
R

|
x
|

 , | x | R


6
u
4 R 3
Q    dx    dx  
3
| x | R
| x | R
Q
 R3

4 | x | 3 | x |
R
r | x |
Теория потенциала
Альтернативный способ (решение уравнения Пуассона)
  f , | x | R
u( x )  
( f  f (| x |)  u  u(| x |))
 0 , |x | R
2
| x | r  u  u '' u '
r
2
u '' u '   f ( r ), r 2u '' 2 ru '   r 2 f ( r ), ( r 2u ') '   r 2 f ( r ),
r
r
r
1
C
2
2
2
r u '    t f (t )dt  C , u '   2  t f (t )dt  2 ,
r 0
r
0
r
z
r
z
1
C
1
C
u( r )    2  t 2 f (t )dtdz   C1    2  t 2 f (t )dtdz  0  C1
z 0
r
z 0
r
0
0
Теория потенциала
z
r
z 2
 1
1 2
  2  t f (t )dtdz     t f (t )dt  d   
z 0
0
00
 z
r
r
r
r
 2
 1 
 2
 1 
1 2
   t f (t )dt       z f ( z )  dz    t f (t )dt      zf ( z )dz
0
 z  0 0 z
0
 z  0 0
z
r
z
z
r
2
t
 f (t )dt
 2
 1 
1 2

0
  t f (t )dt       t f (t )dt   lim
z 0
0
 z  0  r 0

z
r
r
z

r
1 2
z2 f ( z) 1 2
  t f (t )dt  lim
  t f (t )dt
z

0
r0
1
r0
r
z
r
r
r
r
1
1
1
  2  t 2 f (t )dtdz   t 2 f (t )dt   zf ( z )dz   t 2 f (t )dt   t f (t )dt
z 0
r0
r0
0
0
0
Теория потенциала
r
1 r 2
C0
t
f
(
t
)
dt

t
f
(
t
)
dt

 C1 , r  R
 

r
r
0
u( r )   0
 C2  C , r  R
3
 r
r | x |, t  r
|x|
 1 | x| 2
C0
 C1 , | x | R
  r f ( r )dr   r f ( r )dr 
|x|
| x | 0
0
u
 C2  C , | x | R
3
 | x |
Теория потенциала
| x | R  u 
C2
 C3
|x|
 1 
Q
( M , x)
u( x ) 

 O  3  , | x | 
3
4 | x | 4 | x |
| x | 
Q   f (| y |)dy , M   yf (| y |)dy


Q
1
C2 

4 4


C3  0
R
R

2
R
1
2
2
f (| y |)dy 
r
f
(
r
)
dr
sin

d

d


r
f ( r )dr,




4 0
0
0
0
1
2
u( x ) 
r
f ( r )dr

|x|0
Теория потенциала
| x|
| x|
C0
| x | R  u( x)=
r f ( r )dr   r f ( r )dr 
 C1

|x|0
|x|
0
1
2
t
lim
|x|0
1

| x|
2
r f ( r )dr
0
r
f
(
r
)
dr

lim

2
t 0
|x|0
 lim
t 2 f (t )
t 0
t
1
 0  C0  0
R
1
2
| x | R  u( x ) 
r
f ( r )dr,

|x|0
R
R
R
R
1 2
r
f
(
r
)
dr

r
f
(
r
)
dr

C

r f (r )dr  C1   r f (r )dr ,
1



R0
R0
0
0
1
u( x )=
2
| x|
| x|
R
|x|0
0
0
1
2
r
 f (r )dr   r f (r )dr   r f (r )dr 
1
| x|
R
|x|0
| x|
1
2
r
 f (r )dr   r f (r )dr
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Теория потенциала 1.
Лекция 4 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Теория потенциала 2.
Лекция состоится в понедельник 21 апреля
В 10:00 по Московскому времени.