Согласованная фильтрация

Согласованная
фильтрация
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., [email protected]
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
В случае приема сигнала известной формы, как было
показано, устройство принятия решения
(демодулятор) должно вычислять значение
корреляционного интеграла, которое и сравнивается
с порогом, выбираемым в соответствии с принятым
критерием эффективности (МП, Котельникова или
Байеса). Устройство, вычисляющее корреляционный
интеграл, называется коррелятором
z (t )
Т
×

0
s (t )
2
Коррелятор является линейным нестационарным
(параметрическим) устройством и включает генератор
опорного колебания, совпадающего по форме с
ожидаемым сигналом на интервале наблюдения и
интегратор, на выходе которого в момент Т окончания
интервала наблюдения формируется значение,
сравниваемое с порогом.
z (t )
Т
×

0
s (t )
3
В некоторых случаях удобнее использовать линейную
стационарную (инвариантную к сдвигу) цепь, которая
вычисляет значение корреляционного интеграла и
называется согласованным фильтром. Этот фильтр,
как и любая линейная инвариантная к сдвигу (ЛИС)
цепь исчерпывающим образом описывается
импульсной характеристикой
h(t )
а выходной сигнал находится как свёртка (интеграл
Дюамеля), значение которой в момент сравнения с
порогом должно быть равно корреляционному
интегралу
4
Таким образом, должно выполняться
условие
T
T
0
0
 z (t )hсф (t0  t )dt   z (t )s(t )dt
отсюда
t0  T
s (t )
hсф (t0  t )  s (t )
t
а значит
hсф (t )  s (t0  t )
h сф (t )
t0  T
t
t0
5
Найдем комплексную частотную
характеристику согласованного фильтра
H сф ( ) 

 hсф (t )e
 jt

dt 




s( )e
 j (t0  )
d  e
 s(t0  t )e
 jt
dt 

 jt0



s ( )e j d 


*


 e jt0   s ( )e  j d   e  jt0 S * ( )


 

6
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)
согласованного фильтра совпадает по форме с
модулем спектральной плотности сигнала. Это
означает, что согласованный фильтр имеет бóльший
коэффициент передачи для более интенсивных
частотных компонент сигнала («подчеркивает»
сильные гармоники и подавляет слабые).
| S ( ) |
| H сф ( ) |

7
Фазочастотная характеристика состоит из двух слагаемых,
а именно: аргумента функции S * ( ) , обратного
аргументу спектральной плотности S ( ) сигнала, и
линейного слагаемого  t0 (вследствие задержки СП
умножается на e jt0 ). Первое слагаемое обеспечивает
суммирование всех частотных компонент сигнала «в
фазе», благодаря чему в момент времени t0 ,
обусловленный вторым слагаемым, имеет место
максимальное значение отклика, численно равное энергии
сигнала
T
T
0
0
 s(t )hсф (t0  t )dt   s(t )s(t )dt  Es
8
Для произвольного момента времени отклик
согласованного фильтра на «свой» сигнал
T
T
0
0
 s( )hсф (t   )d   s( )s(t0  t   )d  Bs (t0  t )
где Bs (t ) –
автокорреляционная
функция сигнала,
которая, как известно,
достигает максимума,
равного энергии
сигнала, при нулевом
значении аргумента.
9
Согласованный фильтр для сигнала произвольной формы
ЛЗО
Вход 1
t
a0
( n  2)  t
2t
a2
a1

Вход 2
an 2
a n 1
r (t)

ФНЧ
Sˆ ( t )
n 1
sin[2 Fв (t  k t )]
s (t )   ak
2 Fв (t  k t )
k 0
10
Следует иметь в виду, что такой способ
реализации согласованного фильтра является
хотя и универсальным, но заведомо
приближенным, т.к. любой сигнал конечной
длительности имеет нефинитную спектральную
плотность, а идеальный ФНЧ нереализуем.
Тем не менее, этот способ применяется на
практике, например, для согласованной
фильтрации сигналов с линейной частотной
модуляцией (ЛЧМ) используют в качестве линий
задержки с отводами интегральные устройства
(микросхемы) на поверхностных акустических
волнах (ПАВ).
11
Форма сигнала на выходе согласованного фильтра
отличается от формы сигнала на его входе. Это
естественно, так как назначение согласованного
фильтра состоит не в сохранении формы сигнала, а
в вычислении корреляционного интеграла для
наиболее надежного принятия решения о наличии
или отсутствии сигнала на входе приемника.
Иными словами, согласованный фильтр по замыслу
должен обеспечивать максимальное отношение
сигнал/шум в момент времени t0. Убедимся, что это
действительно так при условии, что входной шум
является белым стационарным процессом с
нулевым средним.
12
Пусть на вход фильтра с импульсной характеристикой
воздействует процесс
h(t )
z (t )  s(t )   (t )
Тогда сигнальная составляющая отклика
t0
uc (t0 )   s( )h(t0   )d
0
А шумовая составляющая
t0
uш (t0 )    ( )h(t0   )d
0
 (t ) – белый стационарный шум с нулевым средним
13
Так как  (t )  0
t0
uш (t0 )    ( )h(t0   )d  0
0
поэтому дисперсия шумовой составляющей
выходного процесса равна среднему квадрату
t0 t0
2
 ш2  uш
(t0 )     (1) ( 2 )h(t0  1)h(t0   2 )d1d 2 
t0 t0

00
00
N0
 (1   2 )h(t0  1)h(t0   2 )d1d 2 
2
t0
N0 2
N0

h (t0   )d 
Eh

2
2
0
14
Отношение сигнал/шум по мощности в момент отсчета
2
составляет
t
0
2
2
u
(t0 )
2
с
q 

N 0 Eh
2  s( )h(t0   )d
0
N 0 Eh
Согласно неравенству Шварца
t0
2
t0
t0
0
0
2
2
s
(

)
h
(
t


)
d


s
(

)
d


h
0


 (t0   )d
0
Равенство выполняется при
h(t )  As (t0  t )
15