прямая-мет. рек. к зад

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Методические рекомендации к изучению темы
Данную тему нужно изучать после изучения темы «векторы». Рекомендуем
сначала разобрать решения задач, которые приводятся ниже. Затем без помощи тетради попробовать те же задачи решить самостоятельно, сверяя полученный ответ с тем,
который в тетради.
Примеры решений типовых заданий
Пример 1.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(0, 2) перпендикулярно
вектору n  (1,1) .
Решение
Для любой точки М (x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен
нормальному вектору n : M 0 M  n .
n
M0
L
N
Следовательно, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
M M ,n  0 .
0
Вычислим скалярное произведение векторов M 0 M и n :
 M M , n   1 ( x  0) 1( y  2)  0.
0
Тогда общее уравнение прямой:
x – y + 2 = 0.
Пример 2.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(6, 2) параллельно вектору
q  (0, 1) .
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору q  (0, 1) . Следовательно, их координаты должны быть пропорциональны.
q
M0
L
M
Координаты вектора:
M 0 M  ( x  6, y  2) .
Тогда каноническое уравнение прямой:
x6 y2

.
0
1
Пример 3.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точки М0 (6, 2) и М1 (0, 1).
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M1M коллинеарен вектору M1M 0 , а значит, их координаты должны быть пропорциональны.
M1
M
L
M0
Найдем координаты векторов M1M и M1M 0 :
M1M  ( x  0, y 1), M1M 0  (6  0, 2 1)  (6,1).
2
Тогда каноническое уравнение прямой:
x y 1

.
6
1
Пример 4.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 (6, 2) параллельно прямой
L1: 3x − y + 1 = 0.
Решение
Вектор n1  (3, 1) – нормальный вектор прямой L1 . Прямые L и L1 параллельны,
следовательно, вектор n1 перпендикулярен прямой L. А значит, для любой точки
M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен вектору n1 . Следовательно, скалярное произведение векторов M 0 M и n1 должно быть равно нулю.
n1
L
L1
M0
M
Зная координаты векторов M 0 M  ( x  6, y  2) и n1  (3, 1) , найдем их скалярное произведение:
 M M , n   3  ( x  6) 1 ( y  2)  0;
0
1
3x – 18 – y + 2 = 0.
Тогда общее уравнение искомой прямой
3x – y – 16 = 0.
Пример 5.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(6, 2) перпендикулярно прямой L1: 3x – y + 1 = 0.
Решение
Прямые L и L1 перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор прямой L1 параллелен прямой L , то есть является направляющим вектором прямой L.
3
Тогда для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору n1 . Следовательно, координаты этих векторов должны быть пропорциональны.
L
n1
L1
M0
M
Координаты векторов:
M 0 M  ( x  6, y  2), n1  (3, 1).
Тогда каноническое уравнение искомой прямой:
x6 y2

.
3
1
Пример 6.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Проверить, лежат ли точки на одной
прямой.
Решение
Если точки Q, L и P лежат на одной прямой, то вектор LP коллинеарен вектору
QL , а значит, их координаты должны быть пропорциональны.
Найдем координаты векторов
QL  (4  (3), 9  1)  (7, 8) и LP  (3  4, 2  9)  ( 1,  7) .
Координаты векторов LP и QL не пропорциональны, т.к.
1  7

, следова7
8
тельно, векторы LP и QL не коллинеарные, а значит, точки Q, L и P не лежат на одной
прямой.
4
L
P
Q
Пример 7.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Написать уравнение прямой QL.
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой QL, вектор QM должен быть коллинеарен вектору QL , а значит, их координаты должны быть пропорциональны.
L
M
Q
Координаты векторов:
QM  ( x  3, y  1); QL  (7, 8) .
Тогда каноническое уравнение прямой QL:
x  3 y 1

.
7
8
Пример 8.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Написать уравнение медианы QМ в
треугольнике QPL.
Решение
L
Q
M0
P
5
Найдем координаты точки M0. Точка M0 − середина отрезка LP, значит, ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек L и P. Координаты
точек L(4, 9) и P(3, 2), тогда координаты точки M0:
 43 92
 7 11 
М0 
,
  M 0  , .
2 
 2
2 2 
Напишем уравнение прямой QM0. Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой
QM0, вектор QM коллинеарен вектору QM 0 , а значит, координаты этих векторов
должны быть пропорциональны. Найдем координаты векторов QM 0 и QM :
11   13 9 
7
QM 0    (3),
 1   ,  ;
2
2
  2 2
QM  ( x  3, y  1).
Запишем условие пропорциональности координат:
x  3 y 1

(умножим на (1/2)).
13 / 2 9 2
Получили каноническое уравнение медианы QM0:
x  3 y 1

.
13
9
Пример 9.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины Q.
Решение
L
H
Q
M
P
Пусть QH – высота. Тогда для любой точки M(x, y), лежащей на прямой QH, вектор QM должен быть перпендикулярен вектору LP , а значит, скалярное произведение
этих векторов должно быть равно нулю, т.е.
(QM , LP )  0 .
6
Найдем координаты векторов
QM  ( x  3, y  1) и LP  (1, 7) ,
тогда
(QM , LP)  1( x  3)  7( y  1)  0;
x  3  7 y  7  0;
x  7 y  4  0.
Итак, уравнение высоты QH:
x + 7y – 4 = 0.
Пример 10.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Найти координаты точки пересечения
медиан в QPL.
Решение
L
O
Q
M0
P
Медианы треугольника делятся точкой их пересечения в соотношении 2:1,
начиная от вершины:
QO
| OM 0 |

2
2
 QO  QM 0 .
1
3
Координаты вектора QM 0 были найдены ранее. (см. пример 8).
 13 9 
 2 13 2 9   13
QM 0   ,   QO    ,     ,
 2 2
3 2 3 2  3

3.

Пусть О(x, y), тогда координаты вектора
 13 
QO  ( x  3, y  1)   ,3  .
3 
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты :
7
13
13
4


x  3  , x   3  ,
3 
3
3

 y  1  3;
 y  4.
4 
Следовательно, O  , 4  – точка пересечения медиан QPL.
3 
Пример 11.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Найти угол между медианой и высотой, проведенными из вершины Q.
Решение
L
H
Q
M0
P
Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между
нормальными векторами этих прямых. Уравнение прямой QH: x +7y + 4 = 0 (см. пример
9). Тогда нормальный вектор этой прямой − n2  (1, 7) .
Каноническое уравнение прямой QM0, (см. пример 8):
x  3 y 1

.
13
9
Напишем общее уравнение прямой. По свойству пропорций получим
9( x  3)  13( y  1).
Тогда имеем:
9 x  27  13 y  13.
Следовательно, общее уравнение прямой QM0:
9 x  13 y  40  0 .
Тогда, нормальный вектор прямой QM0
n1  (9, 13) .
Значит,


 n1 , n2 


cos  QM 0 , QH   cos(n1 , n 2 ) 

n1 n2


8

9 1  13  7
92  (13)2 1  7 2
82
82
41
.


81  169  50
250  50 25 5

Пример 12.
Даны координаты точек Q(−3, 1), L(4, 9), P(3, 2). Найти расстояние от точки Р до прямой QL.
L
Q
P
Решение
Уравнение прямой QL (см. пример 7 ).
x  3 y 1
.

7
8
Перемножив по свойству пропорций, перейдем к общему уравнению прямой:
8(x + 3) = 7(y – 1);
8x + 24 = 7y – 7.
Тогда общее уравнение прямой QL:
8x – 7y + 31 = 0.
Точка P(3, 2)  QL.
Расстояние от точки до прямой на плоскости можно найти по формуле:
 ( M , L) 
Ax1  By1  C
A2  B 2
, где L : Ax  By  C  0, M ( x1 , y1 ) .
В нашем случае
 ( P, QL) 
8  3  7  2  31
82  (7)2
9

24  14  31
64  49

41
.
113
Пример 13.
Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то
найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то
найти расстояние между ними.
1) L1: –x + 2y + 1 = 0;
L2: 2x – 4y + 5 = 0.
Решение
Запишем координаты нормальных векторов прямых L1 и L2:
L1: –x + 2y + 1 = 0, тогда n1  (1, 2) – нормальный вектор прямой L1;
L2: 2x – 4y + 5 = 0, тогда n2  (2, 4) – нормальный вектор прямой L2.
Найдем отношение координат нормальных векторов прямых:

1
2
.

2 4
Так как координаты нормальных векторов пропорциональны, следовательно,
векторы n1 и n2 коллинеарны, а значит, прямые L1, и L2 либо параллельны, либо совпадают.
Прямые параллельны так как

1
2
1

 .
2 4 5
Расстояние между прямыми найдем, как расстояние от точки М1, лежащей на
прямой L1, до прямой L2 по формуле:
 ( M1 , L2 ) 
Ax1  By1  C
A2  B 2
, где L2 : Ax  By  C  0, M1 ( x1 , y1 ) .
Найдем координаты точки M1, принадлежащей прямой L1. Для этого одну из координат, например y0, примем равной нулю (y0 = 0), тогда x0 = 1, значит, точка
M 1 (1, 0)  L1 .
Тогда
 ( L1 , L2 )   ( M 1 , L2 ) 
2 1  4  0  5
2  (4)
2
10
2

7
7 5

.
10
20
Пример 14.
Выяснить взаимное расположение прямых L1 и L2. Если прямые пересекаются, то
найти угол между ними и координаты точки их пересечения, а если параллельны, то
найти расстояние между ними.
L1 :
x 1 y  3

;
2
1
L2 :
x 1 y 1

.
0
2
Решение
Найдем направляющие векторы прямых L1 и L2:
q1  (2, 1), q2  (0, 2).
Так как
0 2

, то координаты направляющих векторов не пропорциональны.
2 1
Следовательно, прямые L1 и L2 пересекаются. Косинус наименьшего угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.
L1

q1

L2
q2
Тогда


cos( L1 , L2 )  cos(q1 , q2 ) 

2  0  1 2
4 1 0  4

2
2 5
(q1 , q2 )
q1 q2


5
.
5
Найдем координаты точки пересечения прямых L1 и L2. Для этого получим общие уравнения этих прямых.
L1 :
x 1 y  3

  x  1  2 y  6   x  2 y  5  0;
2
1
11
L2 :
x 1 y 1

 2 x  2  0  x  1  0.
0
2
Пусть точка М (x0, y0) − точка пересечения прямых L1 и L2. Тогда координаты
точки М должны удовлетворять обоим уравнениям. Решим систему уравнений:
 x  2 y  5  0,  y  3,


 x  1.
 x  1  0;
Следовательно, точка М (1,−3) − точка пересечения прямых L1 и L2.
Пример 15.
Написать уравнения прямых, проходящих через точку А(–7, 16) и удаленных от точки
В(4,−7) на расстояние, равное 25.
Решение
Очевидно эти прямые – касательные к окружности с центром в точке В радиуса
25, проведенные из точки А. Уравнение окружности:
( x  4) 2  ( y  7) 2  625 .
Уравнения прямых, которые не параллельны оси OY и которые проходят через
точку А(−7,16), будут иметь вид:
y  k ( x  7)  16 .
Поскольку эти прямые – касательные, то каждая из них имеет с окружностью
единственную общую точку , т.е. уравнение ( x  4) 2  (kx  7k  23) 2  625 имеет единственное решение, а, значит, его дискриминант равен нулю. Раскроем скобки и найдем
дискриминант:
x 2 (1  k 2 )  2 x(4  7k 2  23k )  (49k 2  322k  80)  0 .
D  (7k 2  4  23k ) 2  (1  k 2 )(49k 2  322k  80) = 504k 2  506k  96 = 2(63k  16)( 4k  3)

D  0 при k1  16 / 63, k2  3 / 4 .
Следовательно, уравнения искомых прямых будут иметь вид:
y  (16 / 63)( x  7)  16 и y  (3 / 4)( x  7)  16 .
Итак, 16 x  63 y  1120  0 и 3x  4 y  85  0 .
12