к теме 10

Кратные интегралы
Задача об объеме цилиндрического тела
z = f(x,y)
Vk  f ( xk , yk )DSk
z
n
Vn 
 f ( x , y )DS
k
k
k
k 1
S
Mk
y
DSk
Vn -
суммарный
объем n цилиндров.
x
Обозначим dk=sup[r
M'M'' ∈ DSk – диаметр области DSk
(M'M'')]
n
V  lim
max d k 0
 f ( x , y )DS
k
k 1
k
k - объем цилиндрического тела
Задача о вычислении массы неоднородного объемного тела T
r = f(x,y,z)
c плотностью
Разобьем тело T на элементарные объемы
DVk .
M k  f ( xk , yk , zk )DVk
T
Mk -
DVk
масса элементарного объема.
n
M n   f ( xk , yk , zk )DVk
Nk
k 1
Mn Обозначим dk=sup[r
M  maxlim
d 0
k
(M'M'')]
суммарная масса.
M'M'' ∈ DVk – диаметр области DVk
n
 f ( N ) DV
k
k 1
k
- масса объемного тела T
Опр 11. Определение кратного интеграла
U=f(x1, x2, …,xn) определена в области G ∈Rn.
G на n элементарных областей DG k.
Пусть функция
1) Разобьем
Объем каждой области обозначим DG k
T={DG1, DG2, …, DGn}
2) В каждом DG k выберем точку Mk произвольно!!! (Mk∈ D Gk).
т.е. разбиение
3) Вычислим
f (Mk) ∀ Mk
4) Назовем элементарным диаметром мах расстояние между двумя ∀
точками элементарной области d =sup[r (M'M'')] M'M'' ∈ DG
k
k
n
.
5) Запишем интегральную сумму Римана
 (T , M ) 
 f (M
k 1
k ) D Gk
Если предел интегральной суммы существует при max dk→0 и не
зависит от выбора точки Mk ∈ D Gk , то он называется n - кратным
интегралом Римана по области
lim
max d k 0
G
 (T , M ) 
 
... f ( M )dG
n раз
Теорема 22. Необходимый признак интегрируемости
Если функция
U=f(M)
интегрируема в области G то она ограничена в G.
Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций)
Теорема 23. Если функция
U=f(M)
определена и непрерывна в
G,
то
она интегрируема в G.
Теорема 24. Если функция
y=f(M) монотонна и ограничена в G, то она
интегрируема в G.
y=f(M) имеет конечное число точек разрыва
первого рода в G, то она интегрируема в G.
Теорема 25. Если функция
Основные свойства кратного интеграла.
Если
1.
и
g(M)
интегрируемы в
.. k f (M )dG  k ..
G
2.
f(M)
G, то
f ( M )dG
G
..  f (M )  g (M )dG  ..
G
G
f ( M )dG  .. g ( M )dG
G
3. Если G разбита на 2 непересекающихся множества G1 и
.. f (M )dG  ..
G
G1
G2, то
f ( M )dG1  .. f ( M )dG2
G2
4. Если функция U=f(M) интегрируема и неотрицательна в G, то
.. f (M )dG  0
G
5. Если две функции U=f(M) и V=g(M) интегрируемы в G и
f(M) ≤ g(M) ∀ M∈ G, то
.. f (M )dG  .. g (M )dG
G
6. Если
U=f(M)
G
интегрируема в G, то
.. f (M )dG  ..
G
G
| f(M)| также интегрируема, причем
f ( M ) dG
7. Теорема о среднем
Если функция U=f(M) непрерывна на G, то существует такое
множество точек
c
∃
с ∈ G,
что выполняется
.. f (M )dG  f (c)  S
Геометрически в R2:
z
c
G
f(M)
f(c)
Sc – площадь G, если G ⊂ R2
Sc – объем G, если G ⊂ R3
Sc – мера G, если G ⊂ R n
S
x
Геометрически:
объем
цилиндрического
с
основанием
y
S,
f(M) равен объему цилиндра с основанием
f(с) = m – среднее значение функции.
ограниченного сверху функцией
S и высотой f (c).
бруса
c
G функция U=f(M) удовлетворяет условиям
n ≤ f(M) ≤ N, где n = inf f (M) N = sup f (M), то
8. Если в
n  SG  .. f ( M )dG  N  SG
G
Терминология
Цилиндрический брус
Кратный интеграл
Двойной интеграл
Функция интегрируема в области
Понимать! Уметь произносить! Запомнить! Использовать!