УДК 517.55 О ВЫЧИСЛЕНИИ ВЫЧЕТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

УДК 517.55
О ВЫЧИСЛЕНИИ ВЫЧЕТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, СВЫЗАННЫХ С СИСТЕМОЙ
ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
Мышкина Е. К.
научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Кытманов А. М.
Сибирский федеральный университет
Рассмотрим систему функций
𝑖
𝑓𝑖 (𝑧) = (𝑧 𝛽 + 𝜓𝑖 (𝑧)) 𝑒 𝑃𝑖 (𝑧) ,
𝑖
где 𝛽 =
(𝛽1𝑖 , 𝛽2𝑖 , … , 𝛽𝑛𝑖 )
𝑖 = 1, … , 𝑛,
– мультииндекс с целыми неотрицательными координатами,
𝑖
𝛽𝑖
𝛽𝑖
𝛽𝑖
𝑧 𝛽 = 𝑧1 1 ∙ 𝑧2 2 ∙ … ∙ 𝑧𝑛 𝑛 ;
‖𝛽 𝑖 ‖ = 𝛽1𝑖 + 𝛽2𝑖 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑖 = 𝑘𝑖 ,
𝑖
степени удовлетворяют условию 𝑘𝑖 ≤ deg 𝜓𝑖 (𝑧); 𝑖 = 1, … , 𝑛, и мономы 𝑧 𝛽 не
содержатся в 𝜓𝑖 (𝑧), которые имеют вид
𝑖−1
𝜓𝑖 (𝑧) = ∑ 𝜑𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 (𝑧),
𝑖 = 1, … , 𝑛,
𝑗=1
где 𝜑𝑖𝑗 – однородные полиномы степени ‖𝛽𝑖 ‖ и 𝑑𝑒𝑔𝑧𝑗 𝜑𝑖𝑗 < 𝛽𝑗𝑖 , для
𝑖 = 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑖 − 1.
Функции 𝑄𝑖 (𝑧), 𝑃𝑖 (𝑧) разлагаются в окрестности нуля в ряд Тейлора,
сходящийся абсолютно и равномерно, вида
𝑄𝑖 (𝑧) = ∑ 𝑎𝛼𝑖 𝑧 𝛼 ,
‖𝛼‖>𝑘𝑖
𝛼1
где 𝛼 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ), 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝛼𝑖 ∈ ℤ, а 𝑧 = 𝑧1 ∙ 𝑧2𝛼2 ∙ … ∙ 𝑧𝑛𝛼𝑛 . Степени всех мономов
(по совокупности переменных), входящих в 𝑄𝑖 (𝑧) строго больше, чем 𝑘𝑖 , 𝑖 =
1, … , 𝑛 (т.е. ‖𝛼‖ = 𝛼1 + ⋯ + 𝛼𝑛 > 𝑘𝑖 ).
𝛼
𝑃𝑖 (𝑧) = ∑ 𝑏𝛾𝑖 𝑧 𝛾 ,
‖𝛾‖>0
где 𝛾 = (𝛾1 , 𝛾2 , … , 𝛾𝑛 ), 𝛾𝑖 ≥ 0, 𝛾𝑖 ∈ ℤ.
А функция 𝑓𝑖 (𝑧) удовлетворяет следующим условиям:
для первой функции 𝑓1 степень 𝑘1 строго меньше, чем степень функций 𝜓1 и 𝑃1 , для
остальных функций 𝑓𝑗 степень 𝑘𝑗 меньше либо равна степени функций 𝜓𝑗 и 𝑃𝑗 .
Далее, при фиксированном 𝑧1 система функций 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 удовлетворяет тем же
условиям по переменным 𝑧2 , … , 𝑧𝑛 и так далее.
На последнем шаге при фиксированных 𝑧1 , … , 𝑧𝑛−1 для функции 𝑓𝑛 степень по 𝑧𝑛
монома 𝛽 𝑛 строго меньше степеней голоморфных функций 𝜓𝑛 и 𝑃𝑛 по переменной 𝑧𝑛 .
Рассмотрим циклы 𝛾(𝑟) = 𝛾(𝑟1 , … , 𝑟𝑛 ), являющиеся остовами поликругов Γ(𝑟) =
{|𝑧𝑠 | < 𝑟𝑠 }, т.е.
𝛾(𝑟) = {𝑧 ∈ ℂ𝑛 : |𝑧𝑠 | = 𝑟𝑠 , 𝑠 = 1, … , 𝑛},
𝑟1 > 0, … , 𝑟𝑛 > 0.
Определим вычетные интегралы вида
∫
𝛾(𝑟)
1
𝑧𝛽+𝐼
∙
𝑑𝑓
=
𝑓
1
∫
𝛽 +1
𝑧 1
𝛾(𝑟1 ,…,𝑟𝑛 ) 1
∙ …∙
𝛽 +1
𝑧𝑛 𝑛
∙
𝑑𝑓1
𝑑𝑓𝑛
∧ …∧
,
𝑓1
𝑓𝑛
𝑗
Обозначим через 𝑓̃𝑗 функции 𝑓̃𝑗 (𝑧) = 𝑧 𝛽 + 𝜓𝑗 (𝑧), 𝑗 = 1, … , 𝑛. Пусть 𝐽 мультииндекс порядка 𝑛, состоящий из 𝑠 единиц и 𝑛 − 𝑠 нулей (𝑠 = 0, … , 𝑛).
Введем обозначение: Δ𝐽 - якобиан системы функций, таких что единице, стоящей на ом месте из 𝐽 соответствует строка в Δ𝐽 из производных функции 𝑓̃𝑗 , а нулю, стоящему
на 𝑘-ом месте в 𝐽 соответствует строка в Δ𝐽 из производных функции 𝑃𝑘 .
Теорема 1. При сделанных предположениях для функций 𝑓𝑗 , справедливы
формулы:
𝑠
𝑠
𝜕 𝑙𝑠 (∆𝐽 ∙ 𝜓𝐽𝛼 )
(−1)‖𝛼 ‖
𝐽𝛽 = ∑ ∑
×
=
(𝛽 + (𝛼1𝑠 + 1)𝛽 𝑖1 + ⋯ + (𝛼𝑠𝑠 + 1)𝛽 𝑖𝑠 )! 𝜕𝑧 𝛽+(𝛼1𝑠 +1)𝛽𝑖1 +⋯+(𝛼𝑠𝑠 +1)𝛽𝑖𝑠 𝑧=0
𝑠
𝐽
𝛼
= ∑ ∑(−1)
𝐽
‖𝛼𝑠 ‖
𝔐[
𝛼𝑠
∆𝐽 ∙ 𝜓𝐽𝛼
𝑠
𝑠
𝑠
𝑖
𝑖
𝑧𝛽+(𝛼1 +1)𝛽 1 +⋯+(𝛼𝑠 +1)𝛽 𝑠
],
где 𝛼 𝑠 - мультииндекс порядка 𝑠, 𝑖𝑘 – номер 𝑘 – ой единицы в 𝐽, 𝑙𝑠 = ‖𝛽 + (𝛼1𝑠 + 1)𝛽 𝑖1 +
𝑠
𝛼𝑠 𝜕‖𝛾‖
𝜕𝑧 𝛾
𝛼𝑠
⋯ + (𝛼𝑠𝑠 + 1)𝛽 𝑖𝑠 ‖, 𝛽! = 𝛽1 ! ∙ … ∙ 𝛽𝑛 !, 𝜓𝐽𝛼 = 𝜓𝑖11 ∙ … ∙ 𝜓𝑖𝑠𝑠 ,
=
𝜕‖𝛾‖
𝛾
𝛾
𝜕𝑧1 1 …𝜕𝑧𝑛𝑛
и, наконец, 𝔐 -
линейный функционал, сопоставляющий ряду Лорана свободный член.
Пусть теперь функции 𝑓𝑗 (𝑧) - многочлен в ℂ𝑛 . Функции 𝑃𝑗 (𝑧) - многочлены
вида
𝑃𝑗 (𝑧) =
∑
𝑗
𝑏𝛾 𝑧 𝛾
0≤‖𝛾‖≤𝑝𝑗
и степени всех многочленов 𝑃𝑗 (𝑧), входящих в систему, deg 𝑃𝑗 (𝑧) ≤ 𝜌,
𝑗 = 1, … , 𝑛, 𝑠 = 1,2, ….
Для 𝑓𝑗 (𝑧)сформулируем дополнительные предположения:
𝑑𝑒𝑔𝑧𝑘 𝜓𝑖 ≤ 𝛽𝑘𝑙 , 𝑘 ≠ 𝑖
𝑑𝑒𝑔𝑧𝑘 𝑄𝑖 ≤ 𝛽𝑘𝑙 , 𝑘 ≠ 𝑖
𝑑𝑒𝑔𝑧𝑘 𝜑𝑖𝑗 ≤ 𝛽𝑘𝑙 , 𝑘 ≠ 𝑖
𝑘 = 1, … , 𝑛; 𝑖 = 2, … , 𝑛; 𝑗 = 1, … , 𝑛 − 1.
Обозначим
𝑀
𝜎𝛽+𝐼 = 𝜎(𝛽1 +1,…𝛽𝑛+1,) = ∑
𝛽 +1
𝑧 1
𝑘=1 1(𝑘)
1
𝛽 +1
𝑛
∙ … ∙ 𝑧𝑛(𝑘)
,
где 𝛽 = (𝛽1 , … , 𝛽𝑛 ) – некоторый мультииндекс.
Данное выражение является степенной суммой корней, не лежащих на
координатных плоскостях нашей системы, но в отрицательной степени (либо
степенной суммой от обратных величин корней), а 𝑀 – число таких корней.
Теорема 2. Для системы функций 𝑓𝑗 (𝑧), для которых в разложении степени всех
𝑃𝑗 ограничены числом 𝜌 и выполняется неравенство
𝑙1 + ⋯ + 𝑙 𝑛 ≤ 𝛽,
𝑗
𝑗
𝑗
где 𝑙 𝑗 = (𝑙1 , … , 𝑙𝑛 ) и 𝑙𝑖 - наибольшая степень -ого многочлена 𝑃𝑖 по 𝑗-ой переменной 𝑧𝑗 ;
𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛,
справедливы формулы
𝐽𝛽 = (−1)𝑛 𝜎𝛽+𝐼 .
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть функции 𝑓𝑗 (𝑧) имеют вид
(1)
𝑓𝑗 (𝑧) =
(1)
𝑓𝑗 (𝑧)
(2)
𝑓𝑗 (𝑧)
,
𝑗 = 1, … , 𝑛,
(2)
где 𝑓𝑗 (𝑧) и 𝑓𝑗 (𝑧) - целые функции в ℂ𝑛 конечного порядка роста не выше 𝜌,
разлагающиеся в бесконечные произведения, равномерно и абсолютно сходящиеся на
компакте в ℂ𝑛 ,
∞
(1)
𝑓𝑗 (𝑧)
=
∞
(1)
∏ 𝑓𝑗,𝑠 (𝑧),
𝑠=1
(2)
𝑓𝑗 (𝑧)
𝛽 𝑗,𝑠
(2)
= ∏ 𝑓𝑗,𝑠 (𝑧),
𝑠=1
причем каждый из сомножителей имеет форму (𝑧
+ 𝜓𝑗,𝑠 (𝑧))𝑒 𝑃𝑗,𝑠 (𝑧) , а 𝜓𝑗,𝑠 (𝑧) 𝑃𝑗,𝑠 (𝑧)
функции, определенные ранее, и степени всех многочленов 𝑃𝑗,𝑠 (𝑧), входящих в систему,
deg 𝑃𝑗,𝑠 (𝑧) ≤ 𝜌, 𝑗 = 1, … , 𝑛, 𝑠 = 1,2, ….
Обозначим через 𝜎𝛽+𝐼 выражение
∞
𝜀𝑙
𝜎𝛽+𝐼 = ∑
.
𝛽𝑛 +1
∙ … ∙ 𝑧𝑛(𝑙)
Здесь 𝛽1 , … , 𝛽𝑛 , как и прежде, неотрицательные целые числа, а знак 𝜀𝑙 равен +1, если в
(2)
систему, корнем которой является 𝑧(𝑙) , входит четное число функций 𝑓𝑗,𝑠 ; и равен −1,
𝛽 +1
𝑧 1
𝑘=1 1(𝑙)
(2)
если в систему, корнем которой является 𝑧(𝑙) , входит нечетное число функций 𝑓𝑗,𝑠 .
𝑗
𝑗
Определим мультииндекс 𝑙 𝑗 = (𝑙1 , … , 𝑙𝑛 ), где 𝑙 𝑗 – максимальная из наибольших
степеней всех многочленов 𝑃𝑗,𝑠 по -ой переменной 𝑧𝑘 ; 𝑗, 𝑘 = 1, … , 𝑛, 𝑠 = 1,2, …,
входящих в разложение.
Теорема 3. Для системы функций 𝑓𝑗 (𝑧), для которых в разложении степени всех
𝑃𝑗 ограничены числом 𝜌 и выполняется неравенство
𝑙1 + ⋯ + 𝑙 𝑛 ≤ 𝛽,
ряд сходится и справедливы формулы
𝐽𝛽 = (−1)𝑛 𝜎𝛽+𝐼 .
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 12-01-00007-a