РЕШЕНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ

РЕШЕНИЕ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРА ШВАРЦА
Токибетов Ж.А., Кушербаева У.Р.
Казахский Национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Казахстан
[email protected]
Рассмотрим в полуплоскости G  Jmz  0 при заданных постоянных a,b,
 
удовлетворяющих условиям c  a 2  4b  0 и функции f z  класса C 0, G систему
уравнений
 z z  a z  b  f z 
(1)
и краевую задачу следующей постановке для этой системе в виде
Re   Г 0, Jm  z   z   0 .
1-утверждение. Заменой
  e  z  z 1
(2)
2
и подбором  , удовлетворяющее равенству   a  b  0 и при a     ,
 



f1  f z e  z  z  , система приводится к виду
 21

  1  f1 .
2
z
z
2 – утверждение. Преобразуя переменную z по формуле [1]
z  e i z1 ,   arg  ,
система (3) сводится к системе
 21
1

 f1 .
2

z
1
z
(3)
1
3 – утверждение. Общее решение однородной системы (1) представляется через
две произвольные аналитические функции  z  и  z  (такие, что
 
 z , z   C 1, G , e  ,z  z  z   e 2 z  z  z   C 2, G  )
в виде
 0 z   e   z  z  z   e   z  z  z  ,
1
2
a c
a c
, 2 
2
2
4 – утверждение. Если обозначим через Th следующий интеграл [2]
1 h 
Th   
dd ,
 G  z
то частное решение неодродной системы (1) имеет вид:
g z   e 2  z  z T T fe1    ,
здесь     i ,     i
На основании утверждений 1-4 получим теорему
где 1 


1 – теорема. Если функция f z   C 0, G  и C  0 , то все регулярные в
 
полуплоскости Jmz  0 решения класса C 1, G системы (1) представляются в
следующем виде
 z   e  , z  z  z   e 
1  2  2 
2
 z  
z z 
f 1 
d 1 d1 ,  j   j  i , j  1,2.
2  z
1  2

G
G
Через S обозначим оператор Шварца [3], который определяет аналитическую
функцию F z  , предельное значение Re F z  на контуре совпадает с функцией us  , а
JmFz  в заданной точке z 0 обращается в нуль. Символически это мы будем
записывать так:

e 2  z  z 
2

e
d 2 d 2 
F z   ux, y   ivx, y   Su
2 – теорема. Если функция f z   C 0, G  и C  0 , то решение задачи (1) – (2)
определяется формулой
1  1  z  z 
S ig 2  2 g1   1  i Sg1 z   e 2  z  z  S ig 2  1 g1   1  i Sg1  z    g z 
 z  
e


C
i 1
g  x 
,где S - оператор Шварца, g1   Re g x , g 2   Re
2
Литература
1. Токибетов Ж.А. О формуле Помпею для обобщенной аналитической функции
// Математические заметки, Москва, 1977, том 12, вып .3.
2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции /М., 1959.
3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи /М., «Физматгиз», 1963, 640 с .