Письменный экзамен по дисциплине «Математика» (2 курс СПО) Пояснительная записка Данный материал предназначен для проведения письменного экзамена по дисциплине «Математика» на втором курсе учреждений СПО. Задания составлены по темам и разделам высшей математики: математический анализ функций одной переменной, аналитическая геометрия на плоскости, линейная алгебра и решение систем линейных уравнений, нахождение математического ожидания и дисперсии случайных дискретных величин, заданных законом распределения. В данной статье не представлены задания по теории пределов. Экзамену предшествовала контрольная работа по данной теме, поэтому считаю возможным не дублировать этот материал. Для публикации представлены два варианта экзаменационной работы с ответами на каждое задание. Приведенные упражнения вычислительного характера позволяют проверить не только теоретические знания студентов, но и умения применять их на практике. Экзаменационная работа может быть использована преподавателями и студентами колледжей и учреждений СПО второго курса при изучении начал высшей математики, а также при подготовке к экзамену по дисциплине «Математика». Данные варианты экзаменационной работы были рассмотрены и утверждены на заседании предметно-цикловой комиссии естественнонаучных дисциплин Государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения Владимирской области «Юрьев-Польский индустриально-гуманитарный колледж». Письменный экзамен по дисциплине «Математика» (2 курс СПО) Вариант 1 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: 2 x 1y z 4 3x 4 y 2 z 11 3x 2 y 4 z 11 4 x 2 2. Вычислить определенный интеграл: 2 x 3 dx . 0 3. Вычислить интеграл методом подстановки: а) 3x 2 dx ; б) ∫ 112(sin𝑥)111 ∙ cosxdx 5 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y x , y 0, x 1, x 4 . 5. Скорость движения точки изменяется по закону v 3t 2 2t 1 (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за 8 секунд от начала движения. 6. Найти производную функций: 1 а) y =5 cos x ∙ sin x + 5 cos2x; 2 б)y = 12x2𝑒 𝑥 . 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых координатах: 𝑦 = 𝑥 2 + 2, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0; 𝑥 = 4. 8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y f (x) , если y 2 x 3 3x 2 16 3 9. Даны точки А (2 ; 1; -2); В (2; 2; -3) и С (2; 0; -3) . треугольника АВС и его периметр. Найдите длины сторон 10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной дискретной величины, заданной законом распределения: X -2 0 3 P 0.1 0.5 0.4 11. Даны два комплексных числа: z1 = 1+2i; z2 = 6 - 5i. Найти z1 + z2; z1 – z2; z1 ∙ z2; 𝑧1 𝑧2 . 12. Вычислите: I6 + I20 + I30 + I36 + I54. 13. В классе 15 девочек и 11 мальчиков. Надо выбрать для дежурства 2 человека. Сколькими способами можно сделать выборку, если надо выбрать дежурных одного пола. 14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; - 4) и пересекающей ось Ох под углом 45°. Вариант 2 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера: 5 x y z 0 x 2 y 3z 14 4 x 3 y 2 z 16 5x 3 2. Вычислить определенный интеграл: 2 2 x 100 dx . 0 3. Вычислить интеграл методом подстановки: а) 5x 1 dx ; 2 б) ∫ 101(sin𝑥)100 ∙ cosx𝑑𝑥 4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y x , y 0, x 0, x 1 . 5. Скорость движения точки изменяется по закону v 9t 2 8t (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду. 6. Найти производную функций: а) y = lnx2 - 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ;б) y = arctg 2 𝑥 4 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых координатах: 𝑦 = 2𝑥 2 + 4, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 5 8. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y 2 x 3 3x 2 36 9. Определите вид треугольника АВС, если А (9; 3; - 5), В (2; 10; - 5), С (2; 3; 2). Найдите периметр треугольника АВС. 10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной дискретной величины, заданной законом распределения: X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 0.1 11. Даны два комплексных числа: z1 = 5 - 3i; z2 = 7 - 2i. Найти z1 + z2; z1 – z2; z1 ∙ z2; 𝑧1 𝑧2 . 12. Вычислите: I8 + I13 + I48 + I100 + I501 13. В классе 13 девочек и 12 мальчиков. Надо выбрать для дежурства 4 учащихся. Сколькими способами можно сделать выборку, если надо выбрать 2 девочки и 2 мальчика. 14. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1 (2;3) и М2 (-3;4). Ответы: Вариант 1 Вариант 2 1. 2. 3; 1; 1 2 6 3. 4. а) + C ; б)𝑠𝑖𝑛112 x + C 18 7,5 кв.ед 5. 6. 384 м а) 5 сos 2x - 3 1; 2; 3 - 264 (3𝑥−2)6 𝑥2 7. 8. 1 5 sin 2x; (5𝑥−1)3 а) + C ; б)𝑠𝑖𝑛101 x + C 15 𝜋 2 83 куб.ед. а) 2 2 𝑥 - 𝑥·cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; б) 8𝑥 3 1+4𝑥 8 б) 2x ·𝑒 (12 + 𝑥 ) 1 29 кв.ед 103 кв.ед. x = 0 (max) x = 1 (min) x = 0,5 (перегиб) f(x) возрастает на (-∞; 0)⋃( 1;+ ∞) f(x) убывает на (0; 1) f(x) выпукла вверх на (-∞; 0,5) f(x) выпукла вниз на (0,5; + ∞) x = 0 (max) x = 1 (min) x = 0,5 (перегиб) f(x) возрастает на (-∞; 0)⋃( 1;+ ∞) f(x) убывает на (0; 1) f(x) выпукла вверх на (-∞; 0,5) f(x) выпукла вниз на (0,5; + ∞) 1 3 3 9. 1,5; 1,5; 2 , Р = 5 10. M(x) = 1 D(x) = 3 Ϭ(x) = √3 11. z1 + z2 = 7 – 3i; z1 - z2 = -5 + 7i; z1 · z2 = 16 + 7i; 12. - 1 13. 160 14. y = x - 6 𝑧1 𝑧2 = - 4 61 + 17𝑖 61 АВС - равносторонний , Р = 21√2 M(x) = 1,4 D(x) = 0,84 Ϭ(x) = √0,84 z1 + z2 = 12 – 5i; z1 - z2 = -2 - i; z1 · z2 = 29 - 31i; 𝑧1 𝑧2 = 3 + 2i 5148 5y + x – 17 = 0 Критерии оценивания: каждое задание оценивается 1 баллом. Обязательные задания: №1, 2, 7, 8, 14. Оценка «2» - менее 5 баллов Оценка «3» - 5 баллов Оценка «4» - 7 баллов Оценка «5» - 9 баллов Время выполнения: 2 часа. 41 53 + 11𝑖 53
