98.3 кб

Глава 7, §2
Корни квадратного уравнения
Число корней
Квадратное уравнение x2 + px + q = 0
может иметь один, два или ни одного корня.
Примеры
1) Уравнение x2 – 3x + 2 = 0 имеет два корня:
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).
2) Уравнение x2 – 2x + 1 = 0 имеет один корень:
x2 – 2x + 1 = (x – 1)2.
3) Уравнение x2 – 2x + 2 = 0 корней не имеет:
x2 – 2x + 2 = x2 – 2x + 1 + 1 = (x – 1)2 + 1 > 0.
Глава 7, §2
Корни квадратного уравнения
Число корней
Докажем, что квадратное уравнение x2 + px + q = 0
не может иметь более двух корней.
Если x = a является корнем, то x2 + px + q = (x – a)(x – b).
Равенство (x – a)(x – b) = 0 верно лишь при x = a или
x = b, Ч.Т.Д.
Если квадратное уравнение имеет один корень x = a, то в
разложении x2 + px + q = (x – a)(x – b) число b = a.
По формулам Виета a + a = –p, или a = –p/2, и x2 + px + q
– полный квадрат:
2
 p  p p
q=    = ;
 2  2 4
2
2
p p
p

x 2 + px + q = x 2 + 2  +
= x+  .
2 4 
2