Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение
Квадра́тное уравне́ние —
алгебраическое уравнение общего вида
Коэффициент с называется свободным членом
этого уравнения
.
Поделив уравнение общего вида на a, можно
получить так называемое приведённое
квадратное уравнение:
Геометрический смысл
Графиком квадратичной функции является
парабола. Решениями (корнями) квадратного
уравнения называют точки пересечения
параболы с осью абсцисс. Если парабола,
описываемая квадратичной функцией, не
пересекается с осью абсцисс, уравнение не
имеет вещественных корней. Если парабола
пересекается с осью абсцисс в одной точке (в
вершине параболы), уравнение имеет один
вещественный корень (также говорят, что
уравнение имеет два совпадающих корня). Если
парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
уравнение имеет два вещественных корня. (См.
изображение справа.)
Если коэффициент а положительный, ветви
параболы направлены вверх и наоборот. Если
коэффициент b положительный (при
положительном a, при отрицательном
наоборот), то вершина параболы лежит в левой
полуплоскости и наоборот.
Получение формулы для решения
квадратного уравнения
Формулу можно получить следующим образом:
ax2 + bx + c = 0,
ax2 + bx = − c
Умножаем каждую часть на 4a и прибавляем b2:
4a2x2 + 4abx + b2 = − 4ac + b2
(2ax + b)2 = − 4ac + b2
2ax + b = ± −4𝑎𝑐 + 𝑏 2
Находим дискриминант D = b2 − 4ac
(значение выражения под знаком корня)
Уравнение с вещественными корнями
Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами а и b может иметь от 0 до 2.
В зависимости от значения дискриминанта
вещественных корней может быть:
D = b2 − 4ac
при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле
при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или
совпадающих корнях), кратности 2:
при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся
той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо
формулой