Урок 99, 100 31.01. Самостоятельная работа №9. Формула корней квадратного уравнения. 1. Разбор к/р. «5» – «10» – «5» – «1». Раздать работы. Многие из вас – недорабатывают, а некоторые – страдают из-за неаккуратности, отсутствия здравого смысла и пр. №1а – невнимательность; №1б – вид ответа? №1 в – подробней, модули! №2 а – некоторые не умеют решать. №2 б – много ошибок – разобрать II вариант (два способа); в – два способа (см. №1б)! №3 б – знаки. №4 – разобрать I вариант; максимум баллов почти никто не получил! №5 – многие не справлялись; методы проговорить! №6 – разобрать в общем виде два способа. №7 – разобрать. 2. Проверка д/з: вопросы? №5.10 – 5.12 (а, в).– разбор по необходимости, ответы – в задачнике. 3. Новый материал. Решая квадратные уравнения выделением квадрата двучлена, мы видели, что иногда – это достаточно громоздкая операция. Поэтому, имеет смысл сделать ее один раз в общем виде, получив тем самым универсальные формулы для решения произвольных квадратных уравнений. Рассмотрим в общем виде квадратное уравнение аx2 + bx + c = 0, где а 0, и решим его выделением квадрата двучлена: 2 2 2 b 2 4ac b c b b c b b 2 2 x x 0 x 2 x x . a a 2a 2a a 2a 2a 4a 2 Обозначим: D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного уравнения («различитель» – фр.). Что же он «различает»? [Количество корней уравнения] А именно: 1) Если D < 0, то корней нет. 2 b b 2) Если D = 0, то x 0 x – один корень. 2a 2a b D b D b D 3) Если D > 0, то x x – два корня. 2 x 2a 4a 2a 2a 2a Это и есть формула корней квадратного уравнения. Можно ли ее применять для случая D = 0? [Да, проверим это] Именно поэтому принято считать, что если квадратное уравнение имеет одно решение, то это – два совпадающих корня! (Мы с этим уже сталкивались). Пример. Решите уравнение: 3x2 – 7x + 4 = 0. Выделять квадрат двучлена – громоздко, поэтому: 7 1 4 1 D = (–7)2 – 434 = 1; x = ; x = 1 или x = . Ответ: 1; 1 . 3 3 6 4. Упражнения. 1) Т.: стр. 116, №533 (устно); 2) (самостоятельно в тетрадях с устной проверкой) Т.: стр. 116, №534 в, ж, з; №535 б, г, д [б) – умножить на –1; г) – два способа! д) переставить слагаемые]; Т.: стр. 117, №546 г [–2; 3] 3) Может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь один рациональный, а другой иррациональный корень? Навыки решения квадратных уравнений нам помогут и в геометрии. 4) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, Рис. 1 является средним пропорциональным его катетов. Найдите тангенсы острых углов этого треугольника (письменно на доске и в тетрадях с краткой записью, см. рис. 1). 2 с a [|CM| = ; с = ab и с2 = a2 + b2 a2 – 4ab + b2 = 0; = tg = x; x2 – 4x + 1 = 0 2 2 b x 2 3 . В дальнейшем мы докажем, что это углы 75 и 15] 5) Катет прямоугольного треугольника равен 20, а проекция другого катета – 9. Найдите стороны треугольника. (письменно на доске и в тетрадях с краткой записью). [ x x 9 202 , x 16 , 15, 20 и 25 – египетский треугольник] Домашнее задание: Т.: п. 21 (до примера 3 включительно); №639 (б); №640 (б); №534 (д, е); 1 №641 (г, е, з). 1) Решите уравнения: а) ax2 + = 0; б) ax2 + 5a = 5x2 + a2. 2) Докажите, что a уравнение x2 + bx + c = 0, где b и c – целые нечетные числа, не имеет рациональных корней.