Общие теоремы динамики точки

ДИНАМИКА
ТОЧКИ
ЛЕКЦИЯ 4:
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
1. Основные теоремы динамики
точки
Основные теоремы динамики:
• Теорема об изменении количества
движения материальной точки
• Теорема об изменении момента
количества движения материальной точки
• Теорема об изменении кинетической
энергии материальной точки
2. Теорема об изменении
количества движения
d
 mv   F
dt
Tеорема в дифференциальной форме
Tеорема в интегральной
форме
d  mv   Fdt
Элементарное изменение
равно
количества движения
материальной точки
элементарному
импульсу силы,
приложенной к точке.
импульсу силы, прилоравно женной к точке, за тот же
промежуток времени.
Изменение количества
движения за конечный
промежуток времени
t
mv  mv 0   Fdt
0
Координатная запись
d  mVx   Fx dt


d mVy  Fy dt
d  mVz   Fz dt
t
mVx  mV0 x   Fx dt
t0
t
mV y  mV0 y   Fy dt
t
mVz  mV0 z   Fz dt
t0
t0
3. Первые интегралы
Случай 1
Vx  cx , V y  c y , Vz  cz
F  0  v  const
При отсутствии силы свободная материальная точка движется равномерно и
прямолинейно
Случай 2
Fx  Fy  0  Vx  cx , V y  c y
Траекторией точки будет плоская кривая, лежащая в плоскости, параллельной
оси z, т. е. линии действия силы.
c yVx  cxVy  0 
d
c y x  cx y   0  c y x  cx y  const

dt
Ур-ие плоскости,
параллельной оси z
Случай 3
Fx  0  Vx  cx
Проекция скорости точки на ось, перпендикулярную к силе, остается величиной
постоянной.
4. Первые интегралы
t
В общем случае F  F  x, x,t  при вычислении импульса
Fdt
нужно знать x(t ) , т.е. решение уравнений движения.
0
Но если известно общее решение, то использование теоремы об изменении
количества движения для нахождения первых интегралов теряет смысл

Однако если действующая сила постоянна (F = const) или зависит
только от времени, т. е. F = F(t), то интеграл вычисляется и теорема дает
один векторный или, в проекциях на оси координат, три скалярных первых
интеграла уравнений движения точки.
Пример использования: Определить промежуток времени Т, необходимый для того,
чтобы материальная точка веса Р, движущаяся по горизонтальной прямой под
действием постоянной силы F, увеличила свою начальную скорость v0 в n раз.
P
 nv0  v0   FT
g
 T
Pv0
 n  1
Fg
5. Теорема об изменении
момента количества движения
Момент количества движения точки M относительно точки О равен
r
K O  rOM  Q  m  rOM  v 
M
v
О
dv d
dr
d
  r  mv    mv   r  mv   v  mv
dt dt
dt
dt
0
d
dK O
 MO
 r  mv   r  F
dt
dt
r  F  r  mw  r  m
K O  r  mv момент количества движения материальной точки относительно
MO  r  F
центра (точки О)
момент силы, приложенной к точке, относительно центра
Производная по времени от момента количества движения материальной точки
относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке,
относительно того же центра.
6. Теорема об изменении
момента количества движения
Теорема об изменении момента количества движения в проекциях на оси:
Производная по времени от момента количества движения материальной точки
относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке,
относительно той же самой оси.
d
 yz  zy   yFz  zFy
dt
d
m  zx  xz   zFx  xFz
dt
d
m  xy  yx   xFy  yFx
dt
m
7. Первые интегралы в случае
центральной силы
r F  0
Это возможно или когда сила F = 0, или же тогда, когда линия действия силы все
время проходит через одну и ту же точку О. Такая сила называется центральной
силой, а точка О, через которую проходит линия действия силы, — центром силы.
r  mv  const
векторный первый интеграла
уравнений движения
m  yz  zy   c1
m  zx  xz   c2
m  xy  yx   c3
три скалярных первых интеграла
8. Следствие 1
Траектория точки, движущейся под действием центральной силы,
есть плоская кривая.
rv
Геометрия
Так как вектор r  v перпендикулярный к плоскости,
проходящей через векторы r и v, имеет постоянное
направление, то векторы r и v должны все время
лежать в одной плоскости, проходящей через центр О.
r
v
Алгебра
m  yz  zy   c1
m  zx  xz   c2
m  xy  yx   c3
x
y
z

c1 x  c2 y  c3 z  0
уравнение плоскости
O
9. Следствие 2
Закон площадей: площади, описываемые радиусомвектором, пропорциональны временам.   ct  
r  v  const
2q
0
A1
r (t  t )
z
A
r (t )
O
секторная скорость
r
y
 
x
Секторная скорость характеризует скорость изменения площади поверхности,
описываемой радиус вектором
1
r  r
2
d

1
1
r 1
q
 lim
 lim
r  r  lim r 
 r v

t

0

t

0

t

0
dt
t
2t
2
t 2
2-ой закон Кеплера: линия, соединяющая планету с
Солнцем заметет равные площади за равные времена
vmax rmin  vmin rmax
vmax rmax

vmin rmin
Перигелий rmin
vmax
vmin
rmax
Афелий
10. Теорема об изменении
кинетической энергии
Скалярная величина T, равная половине произведения массы точки
на квадрат ее скорости, называется кинетической энергией точки
v
d
 mv   F
dt
d  mv 2 

  Fv
dt  2 
d
T W
dt
m 2 m
T  v  vv
2
2
2
dv y
dvx
dvz 1 dvx2 1 dv y 1 1 dv 2
vx 
 vy 
 vz 


 
dt
dt
dt 2 dt 2 dt 2 2 dt
Величина W, равная скалярному произведению силы
на скорость точки ее приложения, называется мощностью.
Производная по времени от кинетической
энергии точки равна мощности
В СИ мощность измеряется в ваттах (1 вт = 1 н м/сек).
В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила = 736 вт.
11. Работа силы
Единицы измерения в СИ -джоуль
A1,2  Fs cos   Fs
s  M1 M 2
1Дж  1 Н×м
F

M1
dr
M
v
M2
M1
n
A1,2  lim  Fk cos  k sk
n 
s 0 k 1
A1,2 

M1M 2
F  dr 

M1M 2

F
r
s
Элементарная работа
M2
v
O
d A  F cos  ds  F dr cos   F  dr
A1,2 

F cos  ds
M1M 2
Fx dx  Fy dy  Fz dz
Представление работы в виде
криволинейного интеграла 1-го
рода
Представление работы в виде
криволинейного интеграла 2-го рода
12. Теорема об изменении
КЭ в терминах работы
Связь между работой и мощностью
F  dr
W  Fv 
dt
дифференциальная
форма теоремы
интегральная
форма теоремы
мощность равна работе,
совершаемой в единицу времени
 Wdt  d A
 mv 2 
d
  d A
 2 
Дифференциал кинетической энергии материальной точки
равен элементарной работе, действующей на точку силы.
mv22 mv12

 A1,2
2
2
Изменение кинетической энергии точки при некотором
ее перемещении равно работе действующей силы на том
же перемещении.
A1,2 

F  dr 
M1M 2

Fx dx  Fy dy  Fz dz
M1M 2
В общем случае при вычислении работы нужно иметь решение уравнений движения.
x  x(t )
y  y (t )
z  z (t )
dx  xdt
 dy  ydt

t2
A1,2    Fx x  Fy y  Fz z  dt
t1
dz  zdt
Если сила F зависит только от x и траектория M1M2 известна то работа вычисляется по
формуле (1) и при этом не нужно знать полностью закон движения
13. Пример 1: постоянная сила
M2
F  const
A1,2 

F  dr  F 
M1M 2

dr  F   r2  r1   Fs cos 
M
r2
F
M 1M 2
Для силы тяжести имеем
A1,2   PH

+ если М опускается
- если М поднимается
M1
M1
r1 O

H
P
M2
В данном случае совершаемая работа не зависит от траектории точки, а зависит
лишь от начального и конечного положений. При этом теорема об изменении
кинетической энергии дает первый интеграл
mv22 mv12

 P  z1  z2 
2
2
ось z направлена вверх
14. Пример 2
Fx ( x, y )   py, Fy ( x, y )  px,
p0
y
F
F  r    py  x   px  y  0
Fr
C
3
A1  0
A2 

OB
A3 

OC
O



xM
BM


CM
yM
 F ( x, 0)dx   F ( x
x
y
0

M
yM
2
0
xM
 F (0, y)dy   F ( x, y
y
0
1
, y )dy   pxM dy  pxM yM
0
yM
M
x
0
xM
M
)dx   ( pyM )dx   pxM yM
0
В общем случае работа силы зависит не только от начального и конечного
положений точки приложения силы, но также и от пути, по которому эта точка
перемещается.
B
x
15. Задачи, решаемые с помощью
Т. об изменении энергии
mv22 mv12

 A1,2
2
2
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно решать
следующие две основные задачи.
1) определение скорости материальной точки в конце или начале
движения. Решение этой задачи имеет смысл в том случае, если работу всех
сил, приложенных к материальной точке, можно вычислить, не зная закона
движения, т. е. не интегрируя уравнения движения.
2) вычисление работы силы по заданной скорости.
Использование теоремы для решения задач такого рода особенно полезно в
тех случаях, когда трудности, связанные с определением закона движения и
вычислением интеграла работы сравнительно велики.
16. Пример 3: Колебания с
вязким сопротивлением
F  cx, R  bx
mx  bx  cx
Определить работу восстанавливающей силы F и работу силы
сопротивления R для линейных колебаний точки за все время колебаний. 0
x0
0
cx02
AF   cx dx  c  x dx 
2
x0
0
0
не нужно знать закона движения
точки, ее массу и скорость

0
AR   bx dx  b  x xdt  b   x  dt
2

x0
   h  h  k
2
x
mxx  bxx  cxx
m d
c d
2
2
 x   bxx 
 x
2 dt
2 dt
2
  x0  x0  t   x0  x0  t
e 
e
  
  
x  


2
0
  x0  x0  t
 x x
e     0 0 e t
  
  


AR  b 
0
mx02 cx02


2
2
нужно знать закон движения точки
0
hk
k 2  c / m, 2h  b / m
x
x0


2
0
mx
cx
2
 b   x  dt 
2
2
0
AR
mx02 cx02
AR 

2
2

  dt
0