Кинетическая энергия ИДЗ. Прим

Кинетическая энергия системы
материальных точек.
Теорема об изменении кинетической
энергии системы материальных
точек
Кинетическая энергия точки и твердых тел.
Кинетическая энергия точки
Кинетическая энергия тела при
поступательном движении
Кинетическая энергия тела при
вращательном движении
Кинетическая энергия тела при
плоскопараллельном движении
Кинетическая энергия системы тел
mV 2
T
2
mV 2
T
2
T  J z
1
2
T
mVc 2
2

2
J c 2
2
T = ∑Tk
Элементарная работа силы
(скалярное произведение)
Работа силы на конечном перемещении по
кривой М0М1
dA  F  dr
AM 0 M1 
 F ds

M 0 M1
Работа силы на конечном перемещении в
декартовой системе координат
Работа момента М
x1
y1
z1
xo
yo
zo
AM 0M1   Fx dX   Fy dY   Fz dz
1
AM   Md
o
Работа момента, если М-const
AM  M (1  0 )
Теорема об изменении кинетической
энергии системы
(в дифференциальной форме).
dT  dA  dA
e
dA
A
i
e
i
- элементарная работа внешних сил
- элементарная работа внутренних сил
Дифференциал кинетической энергии механической системы
равен элементарной работе внешних и внутренних сил,
действующих на систему.
Теорема об изменении кинетической
энергии системы
(интегральная форма)
dT  dA  dA
e
е 
i
Интегрируем:
i 
T  T0  A  А
e 
A
i 
A
- работа внешних сил на конечном перемещении
-работа внутренних сил на конечном перемещении
Изменении кинетической энергии системы на некотором конечном
перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил,
приложенных к системе, на том же перемещении.
Индивидуальное задание
Теорема об изменении
кинетической энергии механической
системы.
Постановка задачи .
Механическая система под действием сил тяжести
приходит в движение из состояния покоя.
Начальное положение системы показано на схеме.
Учитывая трение скольжения тела 1
и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения
определить скорость тела 1 в тот момент,
когда пройденный им путь станет равным S.
В задании приняты следующие обозначения:
массы тел 1, 2, 3, 4 – m1,m2,m3,m4;
R, r - радиусы больших и малых окружностей ;
ρ- радиусы инерции тел 2, 3, 4 относительно горизонтальных осей,
проходящих через их центры тяжести;
fТр– коэффициент трения скольжения;
δ – коэффициент трения качения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 4.
Во всех вариантах m1=10m .
Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны,
считать сплошными однородными цилиндрами.
Наклонные участки нитей параллельны соответствующим
наклонным плоскостям.
Система
неизменяемая.
i 
A 0
Система начала двигаться из состояния покоя
Т0 = 0
е 
TA
(*)
Пример №1
2
о
2
1
3
Vс
P
3
B
С
п
1
T3 
J2 

TA
Теорема об изменении кинетической энергии
в интегральной форме для неизменяемой системы при T0=0
пп
вр
2
J2
п
m1V12
3
2
2
2
1
2
вр
m3Vc 2
2
е 
Решение.
T  T  T2  T
пп
V1
Дано:
m1= m; m2= 2m
m3=m; fтр=0,1
R3=2r3=0,6м
ρ3= 0,4м;S1=2м
ОпределитьV1
J3
2
m2 R22
2
3
T 
T


2
 mR2 ; J 3  m3 3  0,16m.
2
2
Пример №1
2
V1
о
2
1
3
P
3
V1
Vс
V1
B
С
Дано:
m1= m; m2= 2m
m3=m; fтр=0,1
R3=2r3=0,6м
ρ3= 0,4м;
S1=2м
ОпределитьV1
Выразим все кинематические характеристики (ω2; ω3; VC )через V1
2 
3 
V1
R2
V1
BP
п

V1
r3  R3
вр
T  T1  T2  T3

m1V12
2

mV12
2
2 

J2
2

mR2 2 V12
2 R2
2
2


V1
0,9
Vc  3CP 
;
V1r3
r3  R3
пп
m3Vc 2
2
 3
2
m V1
2 9
J3
2

2
2
0 ,16 m V1
2
0 ,81
 1,16mV
2
1
 V31
е 
TA
T= 1,16mV12
Yo
o
N3
Xo
2
S1
P
С
Fтр
1
3
Sс
N1
G2
α
B
A( e )  AG1  AFтр  AG3
Vc  ;
V1
3
Sc 
S1
3
G3
S1
G1
Дано:
m1= m; m2= 2m
m3= m; fтр=0,1
R3=2r3=0,6м
ρ3= 0,4м
α=300; S1= 2м
ОпределитьV
1
AG1  m1 gS1 sin   9,8m
AFтр  Fтр S1   fТр NS1   fТр mgS1 cos   1,7m
AG3  m3 gSc  mg S31  6,5m
A(e)  m(9,8  1,7  6,5)  1,6m
1,16mV  1,6m
2
1
V1  1,2 мс
Пример2. Система тел движется под действием сил тяжести. Масса тела 1
m1=6m; масса ролика m2=2m, масса однородного катка m3=4m. Радиус R2=2r2=0,4м.
Каток 3 катиться по неподвижной поверхности без проскальзывания.
R3=0,6м. Радиус инерции ролика ρ= 0,4м. Коэффициент трения качения катка δ=2см.
Система начала двигаться из состояния покоя. Определить скорость V1 при S1=2м.
B3
3
B2
c
Vc
Теорема об изменении кинетической энергии
в интегральной форме для неизменяемой
системы. T0=0
ω2
2
е 
p
T  T1  T2  T3 
V1
m1V 21
2
J 2  m2  2  0,32m; J 3 
TA
1

m3 R3
2
2
J2
2
2 
2
 0,72m;
2  Vr ; VB  VB  2 R2  VrR  2V1 ;
1
3 
1 2
2
3
VB3
VB
B3 P

2
3
2 R3

2V1
2 R3
2

V1
R3
Vc  3CP  3 R3  V1
;
m3Vc 2
2

J3
2
(*)
3
2
Выразим все нужные
кинематические характеристики
через V1, которую надо найти.
T  T1  T2  T3  10mV
A(e)  AG1  AM k  m1 gS  M k  3
N
φ3
Mk
3
M k    N    m3 g  0,8m
2
c
Fсц
2
1
S
3  CP

c
Vс
G2
р
G3
SC
R3
;
VC  V1 интегрируем
1
S
SC  S1  S ;
3 
S
R3
G1
A(e)  AG1  AM k  m1 gS  M k  3  119,7m
Работа остальных сил равна 0
Подставляем все в (*)
10mV21=119,7m;
V1=3,46м/с