Лекция 2. Оценивание погрешностей элементарных действий

Лекция 2. Оценивание погрешностей элементарных
действий
Погрешность сложения.
Теорема. 1 Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких величин
не превосходит сумму абсолютных погрешностей этих величин.
Доказательство. Пусть u= ±a1 ±a2 ±a3 … ±an заменяет А1 ± А2 ± А3 ± … Аn .. Тогда,
по определению погрешности, ∆u = ± ∆a1 ± ∆a2 ± ∆a3 … ± ∆an , откуда по свойству
абсолютной величины, следует |∆u| ≤ |∆a1| + |∆a2| + |∆a3| +… + |∆an|.
Следствие.
∆u = ∆a1 + ∆a2+ ∆a3+…+ ∆an .
Теорема 2. Если слагаемые одного знака, то предельная относительная
погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных
относительных погрешностей слагаемых.
Доказательство. Пусть u=a1+a2+…+an и все аi i=1,2,…,n положительные,
А=А1+А2+…+Аn. (Ai >0, i=1,2,…,n). По определению, δu = ∆u/A=(∆a1+∆a2+…+∆an ) /
(A1+A2+…+An). Заменяя абсолютные погрешности на Аi*δai, получим
δu = (А1*δa1+ А2*δa2+…+ Аn*δan)/(A1+A2+…+An). Если обозначить max(δa1, δa2,…, δan)=
δ* тогда, очевидно, δu ≤ δ*(А1+ А2+…+Аn)/(A1+A2+…+An), то есть δu ≤ δ*.
Погрешность разности.
Рассмотрим один случай – разность двух приближенных чисел u= a1-a2.
.
Ранее установили, что ∆u=∆a1 + ∆a2. Относительная погрешность δu = ∆u/U.
Потеря точности при вычитании близких значений. Привести числовой
пример.
Погрешность произведения. Начнем с относительной погрешности.
Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких
приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы
относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть: u=a1a2a3…an , все сомножители положительны.
Тогда Ln(u)= ∑ Ln(ai). Используясь известный результат из мат. анализа
(дифференциал первого порядка), приближенно можно записать
ΔLn(a)≈d(Ln(a))=Δа/а. Тогда Δu/u = Δ(Ln(u)) = Δ(∑ Ln(ai))= ∑ Δ(Ln(ai))=
Δa1/a1 + Δa2/a2+…+ Δan/an. Оценивая по модулю, получаем |Δ
u/u|≤|Δa1/a1|+ |Δa2/a2|+…+|Δan/an|. Как отмечалось раньше,
|Δai/ai|≈|Δai/Ai|= δi. Откуда и заключаем, что δ≤ δ1+ δ2+…+ δn.
Следствие. δu= ∑ δai.
Частный случай. Пусть u=k*a, к – точная числовая константа ≠ 0. Тогда
имеем δu= δа , Δu=|k| Δa.
Погрешность частного.
U=a1/a2  Ln(u) = Ln(a1)-Ln(a2)  Δu/u= Δa1/a1 – Δa2/a2. 
| Δu/u| ≤| Δa1/a1|+| Δa2/a2|. Теорема (предыдущая) верна и для частного.
Прямая задача теории погрешностей
Суть - оценивание погрешности произвольной функции нескольких переменных
через заданные погрешности аргументов.
Пусть u=f(x1,x2,…,xn) – дифференцируемая, Δxi - погрешности аргументов.
Тогда, |Δu|=|f(x1+ Δx1,x2+ Δx2,…,xn+ Δxn)-f(x1,x2,…,xn)|. Обычно, Δxi малые
величины. Разлагая в ряд Тейлора, можно записать
|Δu|=|df(x1,x2,…,xn)|=|∑(∂f/∂xi)*Δxi|≤∑|∂f/∂xi|*| Δxi|.
Отсюда для предельной абсолютной погрешности функции получаем
Δu=∑|∂u/∂xi|*Δxi. (*)
Для относительной погрешности функции u, после деления на f
δ≤∑|(∂f/∂xi)/f|*Δxi=∑|(∂Ln(f)/∂xi)|*Δxi.
Следовательно, за предельную относительную погрешность функции u можно
принять δu=∑|(∂Ln(u)/∂xi)|*Δxi
Обратная задача теории погрешности
Суть - оценивание погрешностей аргументов произвольной функции нескольких
переменных, обеспечивающих заданную или меньшую погрешность функции.
В такой постановке задача некорректна, так как допускает множество разных
решений. Нужны дополнительные предположения.
1. Принцип равных влияний. Все частные дифференциалы (∂f/∂xi)*dxi вносят
одинаковый вклад в образование общей абсолютной погрешности функции.
Принимая во внимание этот принцип, и отталкиваясь от заданной абсолютной
погрешности функции Δu на основании формулы (*) можно записать
Δu=∑|∂u/∂xi|*Δxi , так как мы потребовали, что
|∂u/∂x1|*Δx1=|∂u/∂x2|*Δx2=…=|∂u/∂xn|*Δxn=Δu/n, то отсюда получаем
Δxi=Δu/(n*|∂u/∂xi|) (привести числовой пример)
Другим вариантом уточняющих предположений может быть такой: считаем, что
предельные абсолютные погрешности всех аргументов одинаковы, то есть
Δx1= Δx2=…= Δxn , тогда из формулы (*) получаем Δxi= Δu/(∑|∂u/∂xi|).
Можно потребовать равенства относительных погрешностей аргументов. То есть
δx1= δx2= δx3=…= δxn=k.  Δx1/|x1|= Δx2/|x2|=…= Δx1/|xn|=k  Δxi=k*|xi|, подставляя в
(*), получаем Δu=k∑|xi*(∂u/∂xi)|  k=Δu/ ∑|xi*(∂u/∂xi)|, и окончательно получаем
Δxi=|xi|*Δu/∑|xi*(∂u/∂xi)|.