Ошибки

Ошибки
I
Задание 5
I
Систематические ошибки
I
Формулы переноса ошибок
I
Метод статистических испытаний
1. Представление
Задание 5
Используя пакет root и заданные файлы с событиями (согласно
вариантам), получить параметры резонансов, используя
зависимость:
σ(Ei ; A, M, Γ) =
A · (Γ/4)2
(E − M)2 + (Γ/2)2
Получить:
1. статистические ошибки, корреляции, качество подгонки
2. вклад в ошибку точности измерения шкалы энергии
(общий для точек) 0.1 МэВ (нормальное распределение)
3. вклад в ошибку точности измерения эффективности
E
(независимый в точках) δε
= 0.01 · 1020МэВ
Входные файлы по вариантам находятся в каталоге:
~korol/Task6
Систематические ошибки
Систематическая неопределенность — неопределенность
измерения, вносимая в измерения приборами, моделью и
другими нестатистическими обстоятельствами
(систематический эффект). Нужно отличать от ошибок (когда
что-то делается неверно или систематическая
неопределенность не учтена). Кроме того, систематический
эффект не обязательно приводит к неопределенности, если у
нас есть способ внести поправку (bias).
Стальная линейка (пример из arxiv:hep-ex/0207026, R.Barlow) и
зависимость от температуры:
1. если есть калибровочная функция длины от температуры и
измерение температуры, можно выбрать влияние эффекта;
2. если эффект просто не учитывается, это ошибка (в
качественном смысле), обнаружить эффект можно
различными проверками, повторением серии эксперимента
в разных условиях и т.д.;
3. если температура не измерялаcь, но есть оценка границ
изменения - получится систематическая неопределенность.
Поиск источников систематической неопределенности
Сравнение результатов, полученных:
1. Умозрительное предположение источников (все
переменные, присутствующие в формулах).
2. Использование различных разбиений по времени.
3. Использование различных отборов событий.
4. Использование различного разбиения гистограмм
Результаты должны совпадать в пределах статистической
точности! Не путаем проверку с расчетом ошибки.
Формула переноса ошибок
I
Как рассчитать ошибку для функции от нескольких
величин с ошибками ?
I
Для малых ошибок (разложение Тейлора):
∆f (x1 , x2 ...) =
X ∂f
∆xi
∂xi
i
откуда:
X ∂f 2 X ∂f ∂f 2
2
∆f
=
∆xi + 2
h∆xi · ∆xj i
∂xi
∂xi
∂xj
i
i<j
X ∂f 2
X ∂f ∂f 2
2
δf
=
δxi + 2
δxi · δxj · cij
∂xi
∂xi
∂xj
i
i<j
Частные случаи
I
Сумма:
X
f (x) =
xi
i
X
δf 2 =
δxi2 + 2
i
I
X
δxi · δxj · cij
i<j
Произведение:
f (x) =
Y
xi
i

δf 2 = f 2 · 
X δx 2
i
i
I
xi2

X δxi δxj
+2
·
· cij 
|xi | |xj |
i<j
Разность:
f (x, y ) = x − y
δf 2 = δx 2 + δy 2 − 2δx · δy · cxy
I
Частное:
f (x, y ) =
δf
2
x
y
2
= f ·
δx 2 δy 2
δx δy
+ 2 −2
·
· cxy
2
x
y
|x| |y |
Метод статистических испытаний
I
Частое англоязычное название Toy Monte-Carlo
I
Последовательность:
I
разыгрываем набор случайных переменных согласно PDF
(если известна)
I
упрощение: согласно многомерному нормальному
распределению с известной матрицей ошибок:
p
∼
exp(−x T A−1 x/2)
A
→
S T ΛS
x
→
Sξ
I
набираем статистику по f (x) (число!)
I
используем выборочные статистики: мода, дисперсия,
медиана, 68% квантили и т.д.
Классы для представления результата
Используем класс TGraphErrors, имеет следующие методы:
I
Конструктор(имяфайла) или Конструктор()
I
Draw(“AP”)
I
Fit(функция, “S”)
I
SetPoint(номер, x, y)
I
SetPointError(номер, ex, ey)
I
GetX(), GetY(), GetN()
Класс TFitResultPtr:
r = graph.Fit(f, “SQ”) # здесь f - объект класса TF1 (см
if r:
r.Chi2()
# Xi^2
r.Ndf()
# Ndf
r.Value(0)
# значение 1 параметра
r.Error(0)
# стат. ошибка 1 параметра
r.GetCovarianceMatrix() # ковариационная матрица
r.Print()
# печатать результаты
Функция TMath.Prob(chi2, ndf)
Представление результата
1. Создать и заполнить граф, нарисовать
2. Прикинуть из графика начальные параметры (высота пика
A, положение M, ширина на полувысоте Γ)
3. Подогнать функцией, получить параметры их ошибки,
xi^2/Ndf, вероятность
4. по эффективности: создать гистограммы для A, M, Γ, в
цикле (1-1000):
4.1
4.2
4.3
4.4
создать новый граф
заполнить E’ -> E ; s’ -> RandomNorm(s, ошибка)
подогнать, скинуть значения в (3) гистограммы
получить вклады в ошибки
5. по энергии: создать гистограммы, в цикле
5.1
5.2
5.3
5.4
создать новый граф
смещение dE = RandomNorm(0, ошибка)
заполнить E’ -> E+dE; s’ -> s
то же что и с эффективностью
6. объяснить, какой вклад ожидался, сравнить с полученным