Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Дифференциальное
исчисление функции
одной переменной.
Определение производной

Производной функции y=f(x) в точке х0
y
lim
Называется x0 x , если этот предел
существует. Производная обозначается f ( x0 )
или f ( x0 ). Таким образом, y( x0 ) =. lim y
x  0
x
Таблица
производных
С´=0, где С –
константа.
(sinx)´=cosx.
(xn)´=n.xn-1 где n (cosx)´=-sinx
– натуральное
число
(ax)´=ax∙lna, где
1
(tgx) 
a>0, a≠1. В
2
cos x
частности,
(ex)´=ex
1
(logax)´= 1
(ctgx)  
x ln a
, где a>0, a≠1. В
sin 2 x
частности,
1
(lnx)´=. x
(arcsinx)´=
(arccosx)´=-
1
1 x2
1
1 x2
(arctgx)´= 1
1 x2
(arcctgx)´=-
1
1 x2
Правила Дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции,
дифференцируемые в точке х. Тогда в
этой точке дифференцируемы функции
u
u+v, u∙v, v . Последнее при условии, что
v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´,
(uv)´=u´v+uv´, u  u v  uv .
  
v
v2
Производная сложной
функции


Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x))
называется сложной функцией от х.
Теорема. Если функция u=φ(x) имеет
производную в точке х, а функция y=f(u)
имеет производную в соответствующей точке
u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет
производную в точке х, причем yx  yu  ux .
1. с´=0
2.
8.
(un)´=nun-1∙u´
9.
(ctgu)  
10.(arccos u) 
3a. (eu)´=eu∙u´
4. (log a u )  1
11.
12.
u ln a
4a.
(ln u ) 
 u
1
 u
u
5. (sinu)´=cosu∙u´
6. (cosu)´=-sinu∙u´
7.
(tgu) 
1
 u
2
cos u
1
(arcsin u ) 
3. (au)´=au∙lna.u´
1
 u
2
sin u
1 u
1
2
 u
 u
1 u
1
(arctgu ) 
 u
2
1 u
1
(arcctgu)  
 u
1 u 2
2
13. (chu)´=shu∙u´
14. (shu)´=chu∙u´
1

(
thu
)

 u
15.
ch u
2
16. (cthu)  
1
 u
2
sh u
Дифференцирование функций,
заданных параметрически

Пусть функция y от х задана
параметрически уравнениями: x=x(t),
y=y(t), t  (α;β).
yt
y x 
xt
Пример

x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.
2
xt  3 cos 2 t  sin t yt  3 sin t  cos t поэтому
2
3sin t cos t
1
yx 
 tgt  ( y x )t  (tgt)t  
2
 3 cos t sin t
cos 2 t
 1 cos t
1
y x 

2
4
 3 cos t sin t 3 sin t cos t
2
Дифференцирование функций,
заданных неявно.
Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0.
 Продифференцируем обе части по х.
Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда
y´(5y4+x)=2x-y и y  2 x  y
4
5y  x

Логарифмическое
дифференцирование
Найти производную функции y=(sinx)x.
Логарифмируем функцию по основанию
е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе
1
части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx
y
отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или
y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).

Дифференциал функции

dy=f´(x)∙dx
Некоторые теоремы
о дифференцируемых
функциях!
Теорема Ферма

Пусть функция y=f(x) определена в
интервале (a;b) и принимает в точке с
этого интервала наибольшее или
наименьшее на (a;b) значение. Если
существует f´(c), то f´(c)=0
Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) непрерывна на
отрезке [a;b], дифференцируема на
интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее
производная f´(х) обращается в ноль
хотя бы в одной точке c  (a;b).
Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) непрерывна на
отрезке [a;b] и дифференцируема в
интервале (a;b). Тогда существует хотя
бы одна точка c (a;b), для которой
выполняется условие:
f (b)  f (a )
 f (c)
ba
Теорема Лопиталя (правило
Лопиталя).

Пусть f(x) и φ(x) – функции,
непрерывные на [a;b],
дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0
при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда
f ( x)

f
(
x
)
lim
если существует lim
, то существует  ( x)
 ( x)
причем :
x a
f ( x)
f ( x)
lim
 lim
xa  ( x)
xa  ( x )
x a
Пример
2
x
lim x
x e
2x
2

 lim x  0
   lim
x
x e
   x e
Применение
производной к
исследованию функций
Экстремумы
функции.
Необходимо условие
монотонности функции
 Если
дифференцируемая в
интервале (a;b) функция y=f(x)
возрастает (убывает) на (a;b),
то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)
Достаточный признак
существования экстремума

Если непрерывная на интервале функция
y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках
этого интервала, за исключением, может
быть, критической точки с, принадлежащей
этому интервалу, и если f´(x) при переходе
аргумента слева направо через критическую
точку с меняет знак с плюса на минус (с
минуса на плюс), то функция в точке с имеет
максимум (минимум)
Выпуклость и вогнутость
графика функции

График дифференцируемой функции
называется выпуклым (вогнутым) в
интервале (a;b), если он расположен
ниже (выше) любой своей касательной
на этом интервале
Достаточный признак
выпуклости и вогнутости

Пусть функция y=f(x) имеет вторую
производную f´(x) во всех точках
интервала (a;b). Если во всех точках
этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то
график на (a;b) выпуклый (вогнутый).
Достаточный признак
существования точки перегиба

Если вторая производная f´(x)
непрерывной функции меняет знак при
переходе аргумента через точку х0, то
точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба
графика функции.
Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y=f(x)
называется прямая, расстояние от
которой до текущей точки графика
функции стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки от
начала координат.
План исследования функции и
построение графика
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Область определения функции.
Точки пересечения графика функции с осями
координат.
Четность, нечетность функции.
Исследование функции на непрерывность.
Вертикальные асимптоты.
Невертикальные асимптоты.
Интервалы монотонности и экстремумы.
Интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба.
f ( x ) , периодичность
Дополнительные точки, lim
x 
(по мере необходимости).
Построение графика.
Пример Исследовать функцию
x
и построить ее график.
y
2
x2  4
1.
Область определения:
(-∞;-2)  (-2;2)  (2;+∞),
так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби
обращается в ноль.
x
x 4
2
0
2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0,
тогда , откуда х=0.
(0;0) – точка пересечения графика с
осями координат
3.
2
x
y ( x)  2
 y ( x)
x 4
- функция четная.
Функция имеет разрывы в точках х=-2 и
х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.
2
2
x
x
 
lim 2
  lim 2
x2 x  4
, x2 x  4
,
4.
2
x
x2
lim 2
  lim 2


, x 2 x  4
,
x 2 x  4
следовательно, х=-2 и х=2 – точки
разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 –
вертикальные асимптоты.
5.Невертикальные
асимптоты
2
1
x
x
x
0
 lim
 lim 2
k  lim 2
x 
x  x  4
x  ( x  4) x
4
1 2
x
x2
1
b  lim 2
 lim
1
x  x  4
x 
4
1 2
x
следовательно, прямая у=1 – асимптота.
6.

2 x  ( x  4)  2 x  x
8x
y 
 2
2
2
2
( x  4)
( x  4)
2
2
у´=0, если -8х=0, откуда х=0 –
критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 –
критические точки.
На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция
возрастает, а на интервалах (0;2) и
(2;+∞) – убывает.
Уmax(0)=0.
7.
8  ( x 2  4) 2  8x  2( x 2  4)  2 x
8( x 2  4)  32 x 2
y  


2
4
2
3
( x  4)
( x  4)
8x 2  32  32 x 2 24 x 2  32

 2
2
3
( x  4)
( x  4) 3
у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки
второго порядка.
На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график
функции вогнутый, а на интервале (-2;2) –
выпуклый. Точек перегиба нет