x

Функция [x] (целая часть x)
Функция [x] равна наибольшему
целому числу, не превосходящему х (хлюбое действительное число). Например:
y
3
[√7] = 2,
y
2
x
y
1
x
y
x
y
-3 -2 -1
x
y
x
y
1
-1
2
3
4 x
x
y
x
-2
x
x
y
y
x
y
y
x
y
Рис.2
[−
19
] = −4,
5
[6] = 6.
Функция [x] имеет «точки разрыва»:
При целых значениях х она «изменяется
скачком».
На рис.2 дан график этой функции,
причем левый конец каждого из горизонтальных отрезков принадлежит графику
(жирные точки), а правый – не принадле-жит.
Попробуйте доказать, что если
каноническое разложение числа n! есть
𝑛
𝑛
𝑛
𝛽
𝛾
𝑛! = 𝑃1𝑎 ∙ 𝑃2 ∙ 𝑃3 ∙ … ∙ 𝑃𝑘𝜎 , то 𝑎 = [ ] + [ 2 ] + [ 3 ] + ⋯
𝑃1
𝑃1
𝑃1
Аналогичные формулы имеют место для β, γ, ..., σ.
Зная это, легко определить, например, сколькими нулями оканчивается число 100!
Действительно, пусть 100! = 2𝑎 ∙ 3𝛽 ∙ 5𝛾 ∙ … ∙ 97𝜎 . Тогда
100
100
100
100
100
100
100
𝑎=[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
]+[
] + ⋯ = 97
2
4
8
16
32
64
128
100
100
и 𝛾 = [ 5 ] + [ 25 ] + ⋯ = 24.
Следовательно, 100! Делится на (2 ∙ 5)24 , т.е. оканчивается двадцатью четырьмя нулями.