 

8 класс
Задание 1
1) Выяснить, какой цифрой оканчивается число 31993.
 
к
Решение. Так как число 3 4 оканчивается цифрой 1, то и любая ее степень вида 3 4
оканчивается цифрой 1. Найдем остаток от деления число 1993 на 4. Имеем
1993  4  498  1. Значит, 31993  34   31. Первый множитель оканчивается цифрой 1,
второй - цифрой 3. Значит, произведение оканчивается цифрой 3, т.е. число 31993
оканчивается цифрой 3.
Ответ: 3.
498
2)
Найти
все
такие
четверки
действительных
чисел
x, y , z , u ,
для
которых
x  y  z  u  x  y  z  u  1.
2
2
2
2
3
3
3
3
Решение. Так как x 2  y 2  z 2  u 2  1, то каждое из чисел x 2 , y 2 , z 2 , u 2 не превосходит 1, а
значит, x  1, y  1, z  1, u  1. Из этих неравенств вытекает, что x 3  x 2 , y 3  y 2 , z 3  z 2 ,
u 3  u 2 , причем знак равенства достигается лишь для значений 0 и 1. Отсюда следует, что
x 3  y 3  z 3  u 3  x 2  y 2  z 2  u 2 , причем знак равенства достигается лишь тогда, когда
одно из чисел x, y, z, u равно 1, а остальные 0. Значит, данная система уравнений имеет
ровно 4 решения.
Ответ: 1) x  1,
y  z  u  0, 2) y  1, x  z  u  0, 3) z  1, x  y  u  0,
4) u  1, x  y  z  0.
3) На заводе работали две бригады рабочих из 8 и 10 человек, которые за месяц заработали
3576 руб. Улучшив организацию труда, они повысили производительность труда на 24 % и
20 % соответственно. И так как процент повышения зарплаты при этом составляет половину
процента повышения производительности труда, то за месяц они заработали на 388 руб. 32
коп. больше, чем вначале. Найти месячный заработок рабочих первой и второй бригад до и
после улучшения организации труда.
Решение. Пусть x – заработал рабочий одной бригады, y – заработал рабочий другой
бригады, тогда 8 x  10 y  3576. По условию задачи заработок увеличился соответственно на
24%
20%
 12%,
 10%. Поэтому 8  0,12 x  10  0,1y  388,32.
2
2
8 x  10 y  3576,
Имеем систему 
0,96 x  y  388,32.
го
Из 2 уравнения выражаем y  388,32  0,96 x и подставляем в первое. Решая его получим
x  192 руб., y  204 руб. Заработок после повышения производительности труда составил у
1й бригады 215,04 руб., 2ой – 224,4 руб.
Ответ: 192 руб., 204 руб., 215,04 руб., 224, 4 руб.
4) Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства x  2 y  3  0.
1
Решение.
Преобразуем данное неравенство к виду y 
x 3
 .
2
2
Построим прямую
x 3
 . Она разделит плоскость на 2 полуплоскости. Чтобы узнать искомую, надо
2
2
подставить точку из любой из них. Если удовлетворяет данному неравенству, значит,
полуплоскость искомая, если нет, значит другая искомая.
y
Ответ:
y
3
2
0
x
3
5) Высота, проведенная к боковой стороне равнобедренного треугольника, делит пополам
угол между основанием и биссектрисой угла при основании. Найти углы равнобедренного
треугольника.
B
E
D
x
x
A
4x
C
Решение. Рассмотрим треугольник
ADC. AE - биссектриса, AD- высота.  DAC
0
обозначим через x. 4 x  x  90 , 5x  90 0 , x  180.  A =  C = 4  18  72 0.
 B = 180  2  72  36 0.
Ответ: 360, 720, 720.
2