Задача № 1.

Общие подходы
к решению задач

 Решение каждой последующей задачи зависит от
предыдущей.
 Имеет ли задача решение?
 Разумно ли решать эту задачу самим?
 Можно ли воспользоваться
способом решения?
уже
 Нужно ли решать именно эту задачу?
предложенным
Требуется решить задачи

 Задача №1
Решить уравнение в целых числах:
xyz(x3 - у3)(y3 - z3)(z3 - x3) + 200420052006=0
 Задача № 2
Существуют ли натуральные числа х и у такие, что
x1988 + у1988 =19881988
 Задача №3
Лист бумаги разрезать на4 части. Затем каждый лист
вновь разрезали на 4 части и т.д. Докажите, что после 26
таких разрезаний все полученные листы одного можно
разделить поровну на 5 групп.
 Задача № 4
Укажите среди чисел вида
(4k - 4) какие-нибудь три кратные 10 (к - натуральное число)
 Задача № 5
Найти последнюю цифру числа 320; 2748; 50863
 Задача № 6
Доказать, что 2,6 * (26n -1) - целое при любом натуральном n
необходимо;
а) Догадаться, что число всегда оканчивается 26n (при натуральном
n) на 6, а поэтому 26n - 1 оканчивается на 5;
б) Заметить, что при умножении 2,6 на целое число, оканчивающееся
нар получается целое число.
В итоге решения задачи № 6 рекомендовать следующие:
а) целое число m оканчивается цифрой 6.
Какой цифрой будет оканчивается число
• m2+1;
• m8-4;
• m112+25?
б) назовите такие числа, любая I натуральная степень
которых оканчивается той же цифрой, что и само число.
в) найдите какие-нибудь значения, при котором число р2+1
делится без остатка на 5.
 Задача № 7
Верно ли, что при любом нечётном а число(100+а)5+1 всегда
будет составным.
 Задача №3
Лист бумаги разрезать на 4 части. Затем каждый лист вновь
разрезали на 4 части и т.д. Докажите, что после 26 таких
разрезаний все полученные листы одного можно разделить
поровну на 5 групп.
Чтобы подвести обучающейся к выводу формулы 426-1,
выражающей количество листов бумаги в пяти группа,
полезно процесс деления данного листа представить
наглядно
 Задача № 8
Верно ли утверждение:
а) квадрат натурального числа может оканчиваться любой
цифрой;
б) куб натурального числа может оканчиваться любой
цифрой;
в) четвёртая степень натурального числа может
оканчиваться только одной из цифр 0,1,5,6;
г) пятая степень натурального числа оканчивается той же
цифрой, что и само число?
Таблица степеней числа
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
n2
1
4
9
6
5
6
9
4
1
0
n3
1
8
7
4
5
6
3
2
9
0
n4
1
6
1
6
5
6
1
6
1
0
n5
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
 Задача № 9
Какими цифрами оканчиваются числа вида:
а) 7 4k + 1;
б) 8 4k + 3, где k натуральное число?
 Задача № 10.
Какой цифрой оканчивается число:
а)743; б)12109?
 Задача № 11. Существует ли способ позволяющий
определить последнюю цифру степени целого числа с
натуральным показателем не более, чем на 3 шага?
Алгоритм:
Найти остаток от деления показателя степени на 4, если
остаток равен:
а) 1, то искомая цифра будет совпадать с последней цифрой
основания степени
б) 2, то искомая цифра будет равна последней цифре в
записи квадрата основания;
в) 3, то искомая цифра будет равна последней цифре в
записи куба основания;
г) 0, то для всех нечётных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра1, а для чётных,
кроме круглых чисел, искомая цифра равна 6.
Задача № 1.
Легко понять, что куб любого числа при делении на 7 даёт
остатки 0,1 или 6.
Кроме того проверкой можно убедиться, что число 200 420
052 006 не делится на 7, потому, если хотя бы одно из числе
x, y, z делится на 7 то уравнение решения не имеет.
Пусть теперь ни одно из этих чисел не кратно 7, но тогда, по
принципу Дирихле, по крайней мере два при возведении в
куб дают одинаковые остатки при делении на 7,
но тогда снова выражение xyz(x3 - у3)(y3 - z3)(z3 - x3) делится
на 7, а потому уравнение решений не имеет.
Задача № 2.
x1988 + y1988=19881988
Остаток от деления показателя степени 1988 на 4 равен 0.
1989 на равен 3, поэтому 19881988 оканчивается цифрой 8.
Сумма х 1988+ y1988 может оканчиваться цифрой.
а) 2 при x и y – чётных и нечетных(кроме чисел,
оканчивающихся на 5).
б) 6, если x и y – нечетные, но одно из них оканчивается
цифрой 5.
в)1, если одно из них четное, а другое – нечетное,
оканчивается цифрой 6.
Значит таких числе x и y не существует.
Рекомендации к решению
олимпиадных и творческих задач

 Не искать сложного в условии.
 Вычленить и отсечь лишнее в условии.
 Выделить главное.
 Смодерировать условие.
 Перевести условие на другой язык(чертеж, график,
рисунок, математическая модель).
 Разбить на подзадачи.
 Учесть, что уже было сделано.
Автор работы:

 Грибачева Вера Георгиевна, учитель математики
высшей квалификационной категории.
г. Ангарск, МБОУ «Гимназии №8», 2013