I тур дистанционной олимпиады по математике 8 класс

I тур дистанционной олимпиады по математике 8 класс
Выполнила
Фамилия Мухаметова
Имя Эльнара
Отчество Ильдаровна
Класс 8 (восьмой)
Школа СОШ №4 г.Туймазы
Город Туймазы
Район Туймазинский
ФИО учителя Ямалиева Зульфия Гумаровна
Задача 1. Первое число можно представить в виде:
70000+х*100+у*10+z,
где
х – количество сотен,
у – количество десятков,
z – количество единиц данного числа.
Если перенести 7 на последнее место, то получим:
х*1000+у*100+z*10+7.
Далее находим разность первого и второго чисел:
7000+100х+10у+z-(1000х+100у+10z+7)=
=7000+100х+10у+z-1000х-100у-10z-7=
= -900х-90у-9z+6993,
-900х-90у-9z+6993=864
/ (-9)
100х+10у+ z=681
100х+10у=681- z.
Подставим это выражение в первое число:
7000+(100х+10у)+ z = 7000+681- z+z = 7000+681=768
Сделаем проверку:
1 число: 7681,
2 число: 6817,
7681-6817=864 – верно.
Ответ: число 7681
1
Задача 2.
81  8 - оканчивается на 8,
8 2  64  оканчивается на 4,
8 3  612  оканчивается на 2,
8 4  4096  оканчивается на 6
8 5  32768  оканчивается на 8 и тт.д
Последние цифры числа при возведении 8 в степень меняется в следующем порядке:
8, 4, 2, 6 – всего 4 возможности,
2003 = 500*4+3
Задача 3.
1) Разделим монеты на 3 части по 27 монет:
81
(I)
(II)
(III)
27
27
27
Взвесим I и II части монет. Если они имеют одинаковый вес, то легкая монета в III части.
Если I и II части имеют разный вес, то нужно выбрать легкую.
2) Разделим 27 монет на 3 части по 9 монет
27
(I)
(II)
(III)
9
9
9
Поступим как при первом взвешивании: взвесим I и II части. Если они имеют одинаковый
вес, то выбираем III часть. Если I и II разного веса, то выбираем легкую часть.
3) Разделим 9 монет на 3 части по 3 монеты
9
(I)
(II)
(III)
3
3
3
Поступим как при первом взвешивании: взвесим I и II части. Если они имеют одинаковый
вес, то выбираем III часть. Если I и II разного веса, то выбираем легкую часть.
2
4) Осталось всего 3 монеты
27
(I)
(II)
(III)
1
1
1
Взвесим две из них. Если они одинакового веса, то третья – фальшивая. Если разного веса,
то более легкая - фальшивая.
Задача 4
Равносторонний треугольник можно разделить на 2 равных треугольника тремя
способами. Для этого нужно опустить из каждой вершины высоту. Так как все стороны
треугольника равны, то высота будет являться и медианой, и биссектрисой.
Получившиеся треугольники будут равны по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: существует 3 способа
Задача 5.


(а  b) 3  (b  c) 3  (c  a) 3  (a  b  b  c)  (a  b) 2  (a  b)  (b  c)  (b  c) 2  (c  a) 2 


(a  c)  (a  b)  (a  b)  (b  c)  (b  c)  (a  c)  
(a  c)  a  2ab  b  ab  ac  b  bc  b  2bc  c  a  2ac  
(a  c)   3ab  3b  3bc  3ac   (a  c)  (3b  3ab  3bc  3ac) 
(a  c)  (a  b) 2  (a  b)  (b  c)  (b  c) 2  (a  c) 3 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(a  c)  (3b  (b  a )  3c  (a  b))  (a  c)  (3b  (b  a )  3c  (b  a )) 
(a  c)  (b  a )  (3b  3c)  3  (a  c)  (b  a )  (b  c)
3
Задача 6.
1 2  x  2
ОДЗ : x  0
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2


2
 1 2  x   2


1 2  x  4
2  x  4 1
2 x 3
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2
 2  x   3 2


2 x 9
x 92
x 7
Возведем обе части уравнения в квадрат:
( x)2  72
x  49
Число 49 входит в область допустимых значений
Ответ: 49
Задача 7.
1*2*3*……..*100
1*2*3*…….*10 – получим 2 нуля (10, 2*5=10)
11*12*13*….*20 – 2 нуля (20, 12*15=30)
И т.д.
81*82*83*….*90 – 2 нуля (90, 82*85=6970)
91*92*93*….*100 – 3 нуля (100, 92*95=8740)
Тогда количество нулей равно:
9*2+3=18+3=21
Ответ: 21
4
Задача 8.
v
t
s
Мимо светофора
х км/ч
5с
5х м – длина поезда
Мимо платформы
150  5 х
15
15 с
150 м + 5 х
Скорость поезда – х км/ч можно так же выразить в виде
Тогда длину поезда 5х м можно выразить: 5 *
Получаем уравнение: 5 *
150  5 х
.
15
150  5 х
15
150  5 х
 5х
15
х  30
 5х
3
х  30  3 х
5*
х  3 х  30
2 х  30
х  30 / 2
х  15 км / ч
Ответ: 15 км/ч
Задача 9.
m 1
  n  3m
n 3
n  2m 3m  2n m

 1
m
m
m
Ответ: 1
Задача 10.
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-….+2002-2003-2004+2005=
=(1+2-3)+(-4+5+6-7)+(-8+9+10-11)+…..+(2002-2003-2004+2005)=
=0+0+0+….+0=0
Ответ: 0
5