(1,45 МБ)

Подготовка к олимпиадам
по математике
средствами УМК
авторов
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.,
Якир М.С.
Полонский В.Б., автор УМК
Инвариант –
это свойство некоторого класса (множества)
математических объектов, остающееся
неизменным при преобразованиях
определённого типа
.
100 фишек выставлены в ряд.
Разрешено менять местами две
фишки, стоящие через одну фишку.
Можно ли с помощью таких
операций переставить все фишки в
обратном порядке?
Миша написал на доске в некотором
порядке 2004 плюса и 2005 минусов. Время
от времени Юра подходит к доске, стирает
любые два знака и пишет вместо них один,
причем если он стер одинаковые знаки, то
вместо них он пишет плюс, а если разные,
то минус. После нескольких таких действий
на доске остался только один знак. Какой?
Круг разделен на 6 секторов, в каждом из
которых стоит фишка. Разрешается за один
ход сдвинуть любые две фишки в соседние с
ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций
собрать все фишки в одном секторе?
Задачи на метод инварианта
в УМК авторов
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.,
Якир М.С.
Задачи на метод
инварианта
в УМК
94. Сначала вычислили сумму цифр
числа, равного произве-дению
1  2  3  ...  999  1000. Потом
вычислили сумму цифр полученного
числа. Так поступали до тех пор, пока
не получили однозначное число. Что
это за число?
6 класс
192. На чудо-дереве садовник вырастил 85
бананов и 70 апельсинов. Каждый день
он срывает два плода, и сразу на дереве
вырастает один новый. Если садовник
срывает два одинаковых фрукта, то
вырастает апельсин, а если два разных
— то банан. Каким окажется последний
фрукт на этом дереве?
6 класс
7 класс
8 класс
204. На доске написаны многочлены x + 2
и 2x + 1. Разрешается записать сумму,
разность или произведение любых двух
из уже написанных многочленов.
Может ли на доске появиться
многочлен 2x3 + x + 5 ?
8 класс
11 класс
11 класс
Метод раскраски
Можно ли замостить костями домино
размером 1×2 доску размером 8×8, из
которой вырезаны два
противоположных угловых поля?
Можно ли доску размером 6×6 замостить
плитками размером 1×4 ?
1
2
3
4
1
2
2
3
4
1
2
3
34
4 1
1 2
2 3
3 4
4 1
1
2
3
4
1
2
2
3
4
1
2
3
Можно ли доску
размером 6×6 замостить
плитками вида
?
Деревянный брусок тремя
распилами распилили на восемь
меньших брусков.
На рисунке у семи брусков указана
их площадь поверхности.
Какова площадь поверхности
невидимого бруска?
432. В каждой клетке доски размером
5  5 клеток сидит жук. В некоторый
момент все жуки переползают на
соседние (по горизонтали или
вертикали) клетки. Обязательно ли при
этом останется пустая клетка?
7 класс
89. Можно ли квадрат
размером 10  10 клеток
разрезать на 25 фигур,
которые состоят из четырёх
клеточек и имеют такой
вид:
?
8 класс
110. Учитель предложил ученику
вырезать из листа картона
размером 8  8 клеток восемь
квадратов размером 2  2 клетки
при условии не портить клетки,
которые остались. Потом оказалось,
что нужен ещё один такой квадрат.
Всегда ли можно вырезать его из
остатков листа?
8 класс
164. На бумаге в клетку
выбрали произвольно 100
клеток. Докажите, что среди
них можно найти не менее
25 клеток, не имеющих
общих точек.
8 класс
1
3
1
3
2
4
2
4
3
1
3
1
4
2
4
2
1 2
34
1 2
34
Соответствия
и разбиение
на пары
На каждой из двух парал-лельных
прямых отметили по 100 точек. Каждые
две точки, лежащие на разных прямых,
соединили отрезками. Каких пар
отрезков больше: не имеющих общих
точек или имеющих общую внутреннюю
точку?
566. Меню состоит из 101 блюда.
Докажите, что количество способов
выбора обеда из нечётного количества
блюд равно количеству способов
выбора обеда из чётного количества
блюд при условии, что заказать все
блюда из меню нельзя.
7 класс
509. На окружности отметили 999 точек
синим карандашом и одну точку красным
карандашом. Каких многоугольников с
вершинами в отмеченных точках больше:
тех, которые содержат красную точку, или
тех, которые её не содержат?
8 класс
260. Трамвайные билеты имеют номера от
000 000 до 999 999. Номер называют
«счастливым», если сумма трёх его
первых цифр равна сумме трёх
последних. Докажите, что количество
«счастливых» билетов чётно.
7 класс
Принцип
крайнего
и метод
упорядочивания
1050. Семь гномов собрались вечером
вокруг костра. Оказалось, что рост
каждого гнома равен среднему
арифметическому роста двух его
соседей. Докажите, что все гномы были
одного роста.
5 класс
203. В некотором городе с любой станции
метро можно проехать на любую
другую станцию (возможно, с
пересадками). Докажите, что
существует станция, которую можно
закрыть (без права проезда через неё),
и при этом с любой из оставшихся
станций можно будет проехать на
любую другую.
7 класс
305. Вокруг звезды вращается несколько
планет, расстояния между которыми не
изменяются и являются попарно разными.
На каждой планете находится один
астроном, который наблюдает
ближайшую планету. Докажите, что
существует две планеты, на которых
астрономы наблюдают друг за другом.
7 класс
1006. Сумма 100 разных натуральных
чисел равна 5051. Найдите эти числа.
7 класс
1033. Десятичная запись одного
пятизначного числа состоит только из
цифр 2 и 3, а другого пятизначного
числа — только из цифр 3 и 4. Может
ли запись произведения этих чисел
состоять только из цифр 2 и 4?
7 класс
РЕШЕНИЕ.
Не может. Наименьшее число, которое
может быть получено в результате
умножения двух чисел указанного вида,
равно
22222  33333 = 740 725 926,
а наибольшее —
33333  44444 = 1 481 451 852.
Остаётся заметить, что в натуральном
ряде между числами 740 725 926 и
1 481 451 852 нет ни одного числа, запись
которого состоит из цифр 2 и 4