Выпуклый многогранник

Материал для публикации на сайте
подготовлен преподавателем математики
Чередниченко А.В.
Цели урока:
1.
2.
3.
Повторить классификацию
многогранников
Повторить основные элементы
многогранников
Вспомнить основные формулы
вычисления площадей
многогранников
Классификация
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА
МНОГОГРАННИКИ
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
КОНУС
ЦИЛИНДР
ПРИЗМА
ПИРАМИДА
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
ШАР
Понятие многогранника

Поверхность, составленную из
многоугольников и ограничивающую
некоторое геометрическое тело, называют
многогранником.
Примеры многогранников
Виды многогранников
Выпуклые
Невыпуклые
Примеры многогранников

Большой курносый икосододекаэдр
Примеры многогранников

Большой ромбогексаэдр
Выпуклый многогранник
Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону
от плоскости каждой его грани.
 Все грани выпуклого многогранника
являются выпуклыми
многоугольниками.
 В выпуклом многограннике сумма всех
плоских углов при каждой его вершине
меньше 360 градусов.

Элементы многогранника



Многоугольники, из
которых составлен
многогранник,
называются его
гранями.
Стороны граней
называются рёбрами, а
концы рёбер –
вершинами
Отрезок, соединяющий
две вершины, не
принадлежащие одной
грани, называется
диагональю.
Призма
Призмой называется
многогранник,
который состоит из
двух плоских
многоугольников,
лежащих в разных
плоскостях и
совмещаемых
параллельным
переносом, и всех
отрезков,
соединяющих
соответствующие
точки этих
многоугольников.
Виды призм
 Прямая
призма
 Наклонная призма
определения
Если боковые рёбра призмы
перпендикулярны к основаниям, то
призма
называется прямой, в противном
случае – наклонной.
 Высота прямой призмы равна её
боковому ребру.

Формула нахождения S
призмы
Площадью полной
поверхности
призмы(Sполн)
называется сумма
площадей всех её граней,
а
площадью боковой
поверхности призмы
(Sбок)-сумма площадей
боковых её граней.
S пол = Sбок+2S осн

Определение элементов
призмы
Многоугогльники А1А2А3 и вВ1В2В3 называются
основаниями
В2
Параллелограммы А1В1В2А2…А1В1В3А3 --
боковые грани
В1
В3
Перпендикуляр, проведенный из
какой-нибудь точки основания к
плоскости другого основания,
называется
высотой призмы
А2
А1
А3
Пирамида
Многогранник,
составленный из
n-угольника и nтреугольников
называется пирамидой
Элементы пирамиды
1-высота пирамиды
2
2-боковая грань
пирамиды
1
3-основание пирамиды
3
Правильные многогранники
Выпуклый многогранник
называется
правильным, если все его грани –
равные
правильные многоугольники и в
каждой его
вершине сходится одно и то же число
рёбер.

Гексаэдр
Куб составлен из шести
квадратов. Каждая его
вершина является
вершиной трех квадратов.
 Сумма плоских углов при
каждой вершине равна
270 градусов. Таким
образом, куб имеет 6
граней, 8 вершин и 12
ребер

Основные формулы для
гексаэдра
Обозначения:
 а – ребро,
 V-объём,
 S-площадь боковой поверхности,
 R-радиус описанной сферы,
 r- радиус вписанной сферы,
 H- высота.
a
r
2
H a
Тетраэдр
Тетраэдр составлен из
четырех равносторонних
треугольников.
 Каждая его вершина
является вершиной трех
треугольников.
 Сумма плоских углов при
каждой вершине равна 180
градусов.
 Таким образом, тетраэдр
имеет 4 грани, 4 вершины
и 6 ребер.

Основные формулы для
тетраэдра
Обозначения:
 а – ребро,
 V-объём,
 S-площадь боковой поверхности,
 R-радиус описанной сферы,
 r- радиус вписанной сферы,
R
 H- высота.
V
a
3
2
3
a 2

2
a 6
r
6
S  a2 3
Додекаэдр




Додекаэдр составлен из
двенадцати
равносторонних
пятиугольников.
Каждая его вершина
является вершиной трех
пятиугольников.
Сумма плоских углов при
каждой вершине равна
324 градусов.
Таким образом, додекаэдр
имеет 12 граней, 20
вершин и 30 ребер.
Основные формулы для
додекаэдра
Обозначения:
 а – ребро,
a 3 (15  7 5)
V 
 V-объём,
4
 S-площадь боковой поверхности,
 R-радиус описанной сферы,
S  3a 2 5(5  2 5)
 r- радиус вписанной сферы,

H- высота.
R
r 
a 3 (1 
4
5)
a 10( 25  11 5)
20
Правильные многогранники
Список литературы:
1. З.А.Скопец Геометрические
миниатюры.
2. Н.Ф.Гаврилова Универсальные
разработки по геометрии
3. Л.С.Атанасян Геометрия:Учеб.для 1011 кл.