Нестандартные приемы решения нестандартных уравнений и неравенств Разработала учитель математики

Нестандартные приемы
решения нестандартных
уравнений и неравенств
Разработала учитель математики
МБОУ «СОШ №38» г.Чебоксары
Карасёва Вера Васильевна.
Цель – обучение учащихся решению нестандартных
уравнений и неравенств за счет глубокого понимания
теоретических основ, применяемых в математике.
• Задачи, решаемые в процессе обучения:
• развить нестандартное мышление учащихся;
• сформировать умение строить математические
модели;
• отработать навыки прохождения тестирования при
подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной
сложности);
• повысить интерес к математике;
• привить уверенность учащимся при решении задач
Метод мажорант (метод оценки
ограниченности функций).
Методом мажорант решаются уравнения вида
f(x)=g(x), где f(x) и g(x) функции совершенно
разного вида. Итак, если на некотором промежутке
Р наибольшее значение функции y=f(x) равно M, а
наименьшее значение функции y=g(x) равно M, то
уравнение
 f ( x)  M ,
f(x)=g(x)  
 g ( x)  M .
Решите уравнение:
Решение.
•
ОДЗ:

х 2  4  х 2  1  3  5х 2
3
3
х
.
5
5
• Оценим левую часть уравнения:
х2  4  4,
х 2  1  1,
х 2  4  х 2  1  4  1  3.
• Оценим правую часть уравнения:
2
3  5 х  3.
• Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна
правой части, только если обе части одновременно равняются 3.
 х 2  4  х 2  1  3,


3  5 х 2  3.
• Решая второе уравнение, получаем х=0.
• Ответ: х=0
Задания для самостоятельной работы
log 3 (8  2 x  x 2 )  2 x 1  21 x
8
x
3
4
x
1
2
x
cos 2
x
 x  42
2
1 4 x1
2
 tgx  ctgx
1
x
x
log 2 ( x  )  sin 2
 cos 4
x
2
2
4x
log 3 (4  cos
)  sin x
3
x2  x
2
2 cos
 2 x  2x
6
log 2 (1  x 4  x 2 )  log 2 (1  x 2 )  0
2 1
2

x
log 2 ( x  1)  log 2 x  2
2 log 3 (4  x 2 )  log 2 (1  ( x  3) 2 )
2  x  log 5 ( x  2)
2 1
x
2
 1  x6
log  cos 2 x  x 4
  x
log 2 (3  sin x )  2 2
Решить неравенство cos 2x  cos 6x  2
cos 2 x  1,
cos 6 x  1.
cos 2 x  1,
2 x  2n,
cos 2 x  cos 6 x  2  


cos 6 x  1. 6 x  2n.
 x  n,


n  x  n., n  
 x  3
Использование монотонности функций
•
Теоремы о монотонности функций, их связь с
решением уравнения. Алгоритм решения с помощью
метода монотонности.
• Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c
имеет не более одного корня
• Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а
функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда
уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более
одного корня.
• Пусть область определения функции f(t) есть
промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и
строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом
промежутке. Тогда уравнение
f ( ( x))  f (  ( x))
 ( x)   ( x),
равносильно системе:

 ( x)  M ,
  x   M

Решите уравнение: 3 7 х  6  3 5 х  17  5.
3
3
y

7
х

6

5 х  17 возрастающая (как
• Функция
сумма двух возрастающих функций). В правой части –
постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет
не более одного корня.
Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2
Ответ. Х=2
x 1
• Решите неравенство: 8  3  2
<7
1
Функция f (x)  8 x  3  2 x возрастает
при любых, как
сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что
х=0-единственный корень уравнения f(x)=7.
Следовательно, неравенство f(x)<7 выполняется при х<0.
Ответ х<0
x
Задания для самостоятельной работы
 2  3   2  3
x
x
2
x
3  5 2 x1  7  2 4 x1  19
5 3  2
x
x
log 2 (1  x )  log 3 x
( 3 ) x  2 x1  1
2 log 3 ctgx  log 2 cos x
2x  3  x
8  x 2 x  2 3 x  x  0
16 x  3 x  4 x  9 x
log 2 x  ( x  1) log 2 x  6  2 x
log 2 ( x  3)  3 log 3 (14  x)
3
log 2 ( x  3)  3 log 3 (14  x)
3
2 3 x 9  7
2x 
1
x 1
3
1
log 1 x  17
4
Использование области определения
функций
• Рассматривается метод, когда при решении
уравнения или неравенства выясняется, что обе
его части определены на некотором множестве,
состоящем из одного или нескольких чисел.
• Этот метод наиболее результативен при решении
уравнений и неравенств, в состав которых входят
обратно тригонометрические, логарифмические и
иррациональные функции.
Правила решения уравнений и
неравенств
• При решении уравнения или неравенства перенести все
члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти
её область определения Д (f). При этом:
• 1). Если Д (f) – пустое множество , то уравнение или
неравенство решений не имеют.
• 2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные
решения данного уравнения и неравенства находятся
среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо
проверить, какие из данных чисел являются решениями
уравнения или неравенства.
• 3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли
уравнение или неравенство на концах промежутка и в
каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то
необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).
Решите уравнение:
5  х  7  х  2 х  15  2
• Выпишем условия, при которых выражения, входящие в
левую часть данного уравнения, имеют смысл:
 5  х  0,

 7  х  0,
2 х  15  0;

 х  5,

 х  7,
 х  7,5;

• Система решений не имеет. Поэтому и исходное
уравнение не имеет решений.
• Ответ: решений нет.
Задания для самостоятельной работы
1. Решите систему неравенств
2 x 2  24 x  2 y 2  28 y  167  0


15
x

2
y


2

2.При каких значениях параметра уравнение
x 2  6x  8  x 2  6x  5  a
имеет ровно 3 корня.
3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений
неравенства
1.
является отрезком длины меньше
4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых график
функции f ( x)  x 2  x 2  2 x  3  a пересекает ось абсцисс более чем в двух
различных точках.
• 5. Найдите все значения переменной , при каждом из которых
неравенство
верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка
[3; 6].
Применение производной при решении
уравнений и неравенств
• При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо
доказать монотонность (возрастание или убывание) функций,
входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание
функций удобно доказывать с помощью производной.
• Решите неравенство:
7
5
20 x  28 x  210 x  35 sin 2 x  0
•
•
Рассмотрим функцию
y  20 x 7  28 x 5  210 x  35 sin 2 x
Она определена на всей числовой прямой имеет производную:
f ( x)  140 x 6  140 x 4  210  70 cos 2 x
причем f (x )>0 , следовательно, возрастает на всей области определения
Тогда уравнение f ( x)  0 имеет не более одного корня. Легко заметить, что
таким корнем является число х=0. Т.к. функция непрерывна и
возрастающая, то решением исходного неравенства является
х  0;
. 
Задания для самостоятельной работы
• 1.Найдите все значения , при которых
уравнение 6 sin 3 x  p  5 cos 2 x
не имеет корней.
x3
• 2.Решите уравнение sin x  x 
6
x
x
• 3. Решите уравнение e  e  2 ln( x  1  x 2 )
x 2 y  2 y 2 x  y 3  9
• 4. Решить систему уравнений  3
4
x y  y  7
t2  t 1
t
2
t  t 1
• 5. Доказать, что уравнение
имеет
единственный корень, лежащий в интервале  1 ; 1 
3 2

• 6. Доказать, что уравнение cos x   x
2
имеет единственное решение
x
7. Решить уравнение 2  3  x
.
Тригонометрическая подстановка
• Тригонометрическая подстановка является одним из
способов реализации метода замены переменной и
используется в тех случаях, когда область определения
исходного уравнения совпадает с областью значения
тригонометрической функции или включается в эту
область. Выбор той или иной функции при этом зависит от
вида уравнения, неравенства, их систем или
алгебраического выражения, которое требуется упростить.
• Если из условия задачи следует, что допустимые значения
переменной х определяются неравенством x  1 , то
удобны замены x  sin  или x  cos.
Задания для самостоятельной работы
1.Решить уравнение
1 x2  x 
1
.
1  x  1  x
2
2
2.Выяснить, сколько корней имеет
уравнение 8x1  2 x 2 8x 4  8x 2  1  1 .
5
x

1

3. Решите уравнение
. x
2
x2 1
4. Решите уравнение 1  x 3  x 2  3. x  1 1  x 2
5. Решите уравнение 8 x 3  6 x  3  0 .
6. Решите уравнение


x  1  x 2  2 2x 2  1