Устойчивость. Корректность. Сходимость . • Задача называется устойчивой по исходному параметру х, если решение у непрерывно от него зависит, т. е. малое приращение исходной величины x приводит к малому приращению искомой величины y . • Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным. • сходимость итерационного процесса. • Говорят, что последовательность значений полученных с помощью итерационного процесса x1 , x2 , , xn сходится к точному решению x a, если при неограниченном возрастании числа итераций предел этой последовательности существует и равен a: lim xn a n В этом случае имеем сходящийся численный метод. Системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , am1 x1 am 2 x2 amn xn bm Ее можно записать в векторно-матричном виде Ax b Методы решения линейных систем • 1. прямые методы (используют конечные соотношения, формулы для вычисления неизвестных. Используются для не слишком больших систем с определителем не близким к нулю) • 1.1 Метод Гаусса. • 1.2 Метод Крамера. • 1.3 Метод обратной матрицы. • 1.4 Метод Жордана (матрица системы приводится к диагональному виду). • 2. Итерационные методы. • 2.1 Уточнение решений. • Решение СЛАУ получаемые с помощью прямых методов, обычно содержат погрешности, вызванные округлениями при выполнении операций над числами с плавающей точкой. • В ряде случаев эти погрешности могут быть значительными, и необходимо найти способ их уменьшения. • Найдем решение системы линейных уравнений Ax b (1) • Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислено приближенное решение x (0); (т. е. (0) (0) x приближенные значения неизвестных 1 , …, xn называемое начальным или нулевым приближением к решению. • Подставляя это решение в систему (1) получим Ax (0) b(0) (2) • Вычитая (2) из (1) (обозначив (0) (0) (0) (0) , x x x r b b ) • получаем Ax (0) r (0) • Решая эту систему, находим значение погрешности x(0) ( которое используем в (0) качестве поправки к приближенному решению x вычисляя таким образом новое приближенное решение: x(1) x(0) x(0) , далее x (2) x x (1) (1) • Процесс продолжается до тех пор, пока очередное значение погрешности (поправки) x( k ) не станет достаточно малым, • критерием окончания итерационного процесса можно считать выполнение одного из неравенств x ( k ) x( k 1) , (3) max xi( k ) xi( k 1) , (4) 1i n • 2.2 Метод простой итерации. • запишем исходную систему в виде (1) Ax b; и выполним ряд преобразований 0 b Ax; x b Ax x; x (b Ax) x; x ( E A) x b x Bx b • Тогда по известному k-му приближению можно найти (k+1)-е приближение x • ( k 1) Bx (k ) b, k 0,1,... - метод простой итерации. • Для его применения нужно задать неопределенный пока параметр . • От значения зависит, будет ли сходиться метод, а если будет, то какова будет скорость, т. е. как много итераций нужно совершить для достижения требуемой точности. • Теорема. Пусть det A 0. Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы В A E по модулю меньше единицы. • ( на практике можно положить равным некоторому постоянному числу, например, 1, 0.1 и т. д. ) • 2.3 Метод Гаусса-Зейделя. • Одним из самых распространенных итерационных методов, отличающийся простотой и легкостью программирования, является метод Гаусса-Зейделя. • Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными. Запишем ее в виде a i1 x1 a i , i 1 xi 1 a i i xi a i , i 1 xi 1 i 1, 2, a i n xn bi , , n. • (будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля). • В соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-е приближение к решению можно представить в виде xi( k ) 1 bi a i1 x1( k ) a ii a i ,i 1 xi(k1) a i ,i 1 xi(k11) i 1, 2, , n. a in xn( k 1) • Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения xi( k ) не станут близкими к xi(k 1) т. е. в качестве критерия завершения итерации используется одно из условий (3-4). • Для сходимости данного итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов: a ii a i j , i 1, 2, , n. • (при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго) • Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми. • Проиллюстрируем этот метод на примере решения системы a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 . • Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с но- номером k -1, как x1( k ) 1 b1 a12 x2( k 1) a13 x3( k 1) , a 22 x2( k ) 1 b2 a 21 x1( k ) a23 x3( k 1) , a11 x3( k ) 1 b3 a 31 x1( k ) a32 x2( k ) , a 33