3. Система линейных уравнений.

Леопо́льд Кро́некер
3. Системы линейных
уравнений.
1
3.1 Общее понятие о системе линейных уравнений
Простейшим примером уравнения первой степени, или
как говорят, линейного уравнения, является уравнение
с одним неизвестным
ax  b
(3.1)
1. Если a≠0 , то разделив обе части уравнения (3.1)
на
получим единственное решение
a
2. В случае a=0 и
b0
b
x
a
уравнение (3.1) не имеет
решений.
3. Если a=0 и b=0, то любое число будет удовлетворять
уравнению (3.1); в этом случае рассматриваемое
уравнение будет иметь бесчисленное множество
решений.
2
Определение:
Систему
уравнений вида:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1;
 a x  a x  ...  a x  b ;
 21 1 22 2
2n n
2

...

am1 x1 am 2 x2  ...  amn xn  bm .
(3.2)
называют системой m линейных уравнений с
n неизвестными.
Через
x1 , x2 ...xn
обозначены неизвестные
системы (их число n не предполагается
обязательно равным числу уравнений m).
Величины
a11 , a12 ,..., a mn
называются коэффициентами системы,
а величины b , b ...b - свободными членами.
1 2
m
3
b , b ...b
Если все свободные члены
1 2
m
равны нулю,
то система называется однородной,
если хотя бы один свободный член не
равен нулю, то система называется
неоднородной.
Система (3.2) называется квадратной, если
m=n.
Решением системы (3.2) называется
совокупность таких чисел
1 2
n
которая при подстановке в систему, вместо
неизвестных
c , c ...c
x1 , x2 ...xn
обращает все уравнения этой системы в
тождества.
4
Не всякая система вида (3.2) имеет решение.
Так система линейных уравнений
 x1  x2  1;

 x1  x2  2;
заведомо не имеет
ни одного решения.
Система уравнений вида (3.2), называется
совместной, если она имеет хотя бы одно
решение, и несовместной, если у нее не
существует ни одного решения.
Если совместная система имеет единственное
решение, то она называется определённой,
если совместная система имеет два и более
решений, то она называется неопределённой.
5
3.2 Правило Крамера.
Для простоты будем рассматривать систему из
трёх уравнений с тремя неизвестными:
 a11x  a12 y  a13 z  b1

a21x  a22 y  a23 z  b2
a x  a y  a z  b
32
33
3
 31
a11
a12
a13
  a 21
a31
a 22
a32
a 23
a33
(3.3)
Из
коэффициентов
системы составим
определитель:
Предположим, что ∆≠0.
Определитель называют
определителем системы.
6
Умножим первое уравнение на
второе - на
A21,
A11,
третье – на
A31
 a11 A11x  a12 A11 y  a13 A11z  b1 A11

a21 A21x  a22 A21 y  a23 A21z  b2 A21
a A x  a A y  a A z  b A
32 31
33 31
3 31
 31 31
и сложим
(a11 A11  a21 A21  a31 A31 ) x  (a12 A11  a22 A21  a32 A31 ) y 
 (a13 A11  a23 A21  a33 A31 ) z  b1 A11  b2 A21  b3 A31.
7
На основании свойства 6 коэффициент при x ,
будет равен
,
а на основании свойства 7 коэффициенты
при y и z , будут равны нулю
  x  b1 A11  b2 A21  b3 A31
Поступая аналогично, исключим x и z, а
также x и y.
Таким образом из системы (3.3) получим
систему:
   x  b1 A11  b2 A21  b3 A31

  y  b1 A12  b2 A22  b3 A32
  z  b A  b A  b A
1 13
2 23
3 33

(3.4)
8
Правые части уравнений обозначим
соответственно символами
b1
a12
a13
b1 A11  b2 A21  b3 A31  b2
b3
a 22
a32
a 23   x
a33
a11
b1
b1 A12  b2 A22  b3 A32  a21 b2
a31 b3
a11
a13
a23   y
a33
a12
b1
b1 A13  b2 A23  b3 A33  a21 a22 b2   z
a31 a32 b3
9
Определители
x,y,z
получаются из определителя

при помощи замены соответственно его
первого, второго и , наконец, третьего
столбца столбцом свободных членов
системы (3.3).
Тогда система уравнений (3.4) примет вид
  x   x

  y   y
  z  
z

(3.5)
10
Т.к.
  0, то из (3.5) находим
y
x
z
x , y , z



(3.6)
Формулы получили название формул
Крамера и применимы лишь в случае, если
определитель системы отличен от нуля.
11
Пример:
Решить систему:
Решение:
 2 x  4 y  z  3;

 x  5 y  3z  1;
 x  y  z  1;

Вычислим определитель системы:
2 4 1
 1
1
0  2 1
5 3  0 4
1 1 1 1
 1 (1)
31
2 
1
 2 1
 4  4  8  0
4 2
12
0
1
 x  1  5 3  0
1 1 1 1
6
1
3
4 1
2
4 
1
1  2
 1 (1)
 4  12  16
6 4
4
2
y  1
1
3
1
2
1 3  1
1 1 1
1
2
0
1
2 
0
1 1
 1 (1)
 22  0
2 2
4
13
2 4
3
2 4
1
 z  1  5 1   4  5  6 
1 1 1
0 1 0
 2 1
 1 (1)
 12  4  8.
4 6
5
 x  16
y
0
x

 2; y 

 0;

8
 8
z 8
z 
 1;
 8
14
3.3 Совместность систем.
Теорема Кронекера-Капелли
Система уравнений называется совместной,
если она имеет хотя бы одно решение.
 a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1 ;
 a21x1  a22 x2  a23 x3  ...  a2 n xn  b2 ;
(3.7)

...

am1 x1  am 2 x2  am3 x3  ...  amn xn  bn ,
15
Обозначим через A матрицу из коэффициентов
(3.8), а через В – матрицу, полученную из А
присоединением столбца свободных членов
 a11 a12 ... a1n b1 
 a11 a12 ... a1n 




 a21 a22 ... a2 n b2 
 a 21 a 22 ... a 2 n 
A
B




...
...




a a

 a a ... a b 
...
a
mn m 
mn 
 m1 m 2
 m1 m 2
Mатрицу А называют основной,
матрицу В называют расширенной
16
Теорема о совместности системы линейных
уравнений (теорема Кронекера-Капелли):
Для того, чтобы система линейных
уравнений была совместной необходимо и
достаточно, чтобы ранг основной матрицы А
был равен рангу расширенной матрицы В.
Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и
равен числу неизвестных, то система имеет
единственное решение.
Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В,
но меньше числа неизвестных, то система
имеет бесконечное количество решений.
17
Пример:
Проверить на
совместность
систему
 3 x1  2 x2  x3  2 x4  1

 5 x1  x2  3 x3  x4  3
2 x  x  2 x  3 x  4
2
3
4
 1
Решение
Выпишем расширенную матрицу данной
системы и найдем ранги основной и
расширенной матриц.
3  2 1 2 1


B   5 1 3 1 3
 2 1 2  3 4


Умножим третью
строку на -1 и
прибавим к
первой
18
 1  3 1 5  3  1  3  1 5  3


 
B   5  1 3  1 3    0 14 8  26 18 

2 1 2 3 4  0 7
4  13 10 

 
Переставим вторую и третью строки
 1  3 1 5  3  1  3  1 5  3 

 

B   0 7 4  13 10    0 7 4  13 10 
 0 14 8  26 18  

0  2

 0 0 0
Получили rangA=2, rangB=3, откуда
rangA  rangB
Т.е. система уравнений
несовместна.
19
3.4 Матричный метод решения системы
линейных уравнений
Пусть дана система n линейных уравнений с n
неизвестными:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1

............................

a x  a x  ...  a x  b
nn n
n
 n1 1 n 2 2
(3.8)
20
 a11 a12 ... a1n 


 a21 a22 ... a2 n 
A

...


a

 n1 an 2 ... ann 
Составим
определитель этой
матрицы:
Матрица A в этом случае
будет квадратной.

a11
a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
a n1
...
an2
... a nn
0
21
Введём матрицы-столбцы для неизвестных
и свободных членов
 x1 
 
 x2 
 
...
 
x 
 n
 b1 
 
~  b2 
 
...
 
b 
 n
Тогда систему (3.8) в матричном виде можно
записать:
~
  
!
22
Действительно,
 a11

 a 21


a
 n1
a12
a 22
...
...
...
an2
...
a1n   x1   b1 
 
  
a 2 n   x 2   b2 
   ...    ... 
 
  
 x  b 
a nn 
  n  n
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn   b1 

  
 a21x1  a22 x2  ...  a2 n xn   b2 


  ... 
...

  
 a x  a x  ...  a x   b 
nn n 
 n1 1 n 2 2
 n
Две матрицы равны, если будут равны соответствующие
элементы, т.е. мы получили исходную систему
уравнений.
23
~
A X  B
Умножим это выражение слева на обратную
матрицу:
~
A (A X )  A B
1
1
~
( A A)  X  A B
1
1
~
EX  A B
1
~
X A B
1
(3.9)
24
Пример:
Решить систему
средствами
матричного
исчисления
Решение.
 x1  2 x 2  3x3  14

 2 x1  x 2  3x3  9
 3x  4 x  x  8
2
3
 1
1 2 3
  2  1 3  1 (1)  (1)  2  4  3  2  3  3  3  (1)  3  4  3 1  2  2  (1) 
3 4 1
 1  24  18  9  12  4  44
25
Найдем алгебраические дополнения и
обратную матрицу
1 2 3 


A  2 1 3 
 3 4  1


Aij  (1)
i j
M ij
2 3
A

(

1
)

14

1
3
21
A11  (1) 2
 11
4 1
3
4
2
A12  (1)
3
4 2
A13  (1)
3
3
1
1 3
3
A22  (1)
 10
 11
3 1
1
1
2
5
1
A

(

1
)

2
23
 11
3 4
4
4
26
1 3
A32  (1)
3
2 3
3
4 2
A31  (1)
9
1 3
5
1 2
A33  (1)
 5
2 1
6
Тогда обратная матрица имеет вид:
 A11 A21 ... An1 


1  A12 A22 ... An 2 
1
  

...



 A A ... A 
nn 
 1n 2 n
  11 14 9 


1
1
A   11  10 3 
44 

11
2

5


27
9 14 
  11 14




1
~
1
X  A B   11  10 3  9  
44 



2  5  8 
 11
  1114  14  9  9  8 
 44   1 
 1 
  
1 
  1114  10  9  3  8    88    2 
44 
44

132   3 
11

14

2

9

5

8



  
Ответ:
x1  1, x2  2, x3  3
28
3.5 Метод Гаусса.
Пусть дана система m линейных уравнений с n
неизвестными:
 a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1 ;
 a21x1  a22 x2  a23 x3  ...  a2 n xn  b2 ;

...

am1 x1  am 2 x2  am3 x3  ...  amn xn  bm ,
Исключим из всех уравнений системы начиная со
второго, неизвестную x1. Для этого первое уравнение
нужно умножить на
a

21
a11
и сложить со вторым уравнением и т.д.
29
В результате получим систему вида:







a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1 ;




a 22 x2  a 23 x3  ...  a 2 n xn  b2 ;
...




a m 2 x2  a m3 x3  ...  a mn xn  bm ,
Далее первое и второе уравнения оставим без
изменения, а начиная с третьего уравнения,
будем избавляться от переменной x2 и т.д.
Продолжая этот процесс, в конечном счёте
получится система вида:
30






a11 x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1




a 22 x2  a 23 x3  ...  a 2 n xn  b2
.......................................



a kk xk  ...  a kn xn  bk .
Если k=n, то система имеет единственное
решение,
если k≠n, а именно k<n, то система имеет
бесконечное множество решений.
На практике процесс решения системы
уравнений облегчается тем, что указанным
преобразованиям подвергают не саму систему,
а матрицу составленную из коэффициентов
системы и их свободных членов:
31
 a11

 a 21


a
 m1
a12
a 22
...
am2
a1n b1 

... a 2 n b2 


... a mn bm 
...
Т.е. при помощи элементарных преобразований,
мы будем стремиться к тому, чтобы на диагонали
были не нулевые элементы, а элементы
лежащие ниже главной диагонали равны нулю.
32
Пример.
Решить методом Гаусса систему уравнений:
x1  x2  x3  3;

2 x  3x  2 x  7;
 1
2
3

3
x

x

x

5
;
1
2
3

 5 x1  x2  x3  3.
Решение:
33
 1 1 1 3 1 1
1 3 

 

0 1 
2 3 2 7 0 1


 3 1 1 5 0  2  2  4 

 

 5  1  1 3   0  6  6  12 

 

1 1
1 3 

 1 1 1 3 

0 1  
0 1

 0 1 0 1 

0 2 2 4 

 0 0  2  2


0 0

0 0 

34
Составим систему уравнений
 x1  x2  x3  3;

x2  1;


 2 x3  2,

Очевидно, что
 x 2  1;

 x3  1
 x  1.
 1
35