х т

Лекция №12
РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНЫЕ
ЗАДАЧИ ВЫБОРА
РЕШЕНИЯ
При различении сигналов имеет место
многоальтернативная ситуация, когда полезный
сигнал X может иметь много значений и
приемное устройство должно определить, какое
именно значение из этого множества имеет
место в действительности. Различение многих
сигналов в принципиальном отношении мало
отличается. От случая обнаружения сигнала, т.
е. случая различения двух сигналов.
В
соответствии
с
этим
многоальтернативных
решений
обобщением
соответствующих
двухальтернативных решений.
методы
являются
методов
Пусть сигнал X может иметь т
возможных
значений х1 ,х2,...,хт с
априорными
вероятностями
р(х1),
р(х2),…,p(хт) соответственно
 x1  p x1 
 x  px 
 2
2
X 
..........
........

 xn  p xn 
При этом пространство сигнала V
разбивается на т. областей v1,v2,... ,vm
соответствующих принятию гипотез Н1,
Н2, ... , Нт о том, что X =х1 ,X = х2, …, X =
хт соответственно. Правила принятия
решений и разбивка пространства V на
области v1,v2,...,vm могут производиться в
соответствии с любым из критериев,
рассмотренных
для
случая
двухальтернативной
ситуации
и
обобщенных
на
случай
многоальтернативной ситуации.
Процедура работы решающего устройства
приемника
при
различении
сигналов
следующая.
По
данным
выборки
Y
определяются функции правдоподобия
L(х1)=f(Y/x1), L(х2)=f(Y/x2),...,L(xm) = f(Y/xm) и
вычисляются отношения
 ji 
f Y / x j 
f Y / xi 
Для всех возможных сочетании пар xj и xi.
Сравниваются
полученные
значения
отношений правдоподобия с пороговым значением и выбирается такое значение сигнала хj
 ji1,2,0... , т).
для которого все
(i=
Рассмотрим в качестве примера случай, когда
используется критерий минимального риска.
В случае многоальтернативной ситуации ошибки
принятия
решения
заключается
в
том,
что
наблюдаемая выборка оказывается в области vk, в то
время, как в действительности сигнал X имеет значение
xj. Цена ошибочных решений учитывается путем
введения весовых коэффициентов rjk.
Для заданного значения сигнала xj средняя величина
потерь за счет неправильных решений может быть
оценена коэффициентом
rj   rjk pY  vk / x j    rjk  f Y / x j dY
m
m
k 1
k 1


vk
где
— условная вероятность
p Y  vk / x j
попадания выборки Y в область vk, если в
действительности сигнал X равен хj.
Величины rj носят название условного риска.
Усредняя условный риск по всем возможным
значениям X, получим средний риск
r   rj p x j   
m
m
k 1
m

i 1
i 1
 r pY  v
m
k 1
jk
k
/ x j  p x j  
 r px  f Y / x dY
m
k 1
jk
j
j
vk
Критерий минимального риска для случая
многоальтернативной ситуации сводится к
минимизации функции
r = мин.
Рассуждая аналогично, можно показать,
что реализация условия дает следующую
систему т неравенств, обеспечивающих
принятие гипотезы Нk, что X = хk
pxi  f Y / xi 
rij  rik 
0

px1  f Y / x1 
i 1
m
j  1,2,..., m; j  k
Cинтез структуры
решающего устройства
Оптимальное
решающее
устройство
должно строиться таким образом, чтобы
оно могло
вычислить
функции
правдоподобия
L (X)
и
отношение
правдоподобия
с
последующим
сравнением его с некоторым пороговым
значением 0 .
Следовательно,
в
первую
очередь
решающее устройство должно вычислять
условные плотности вероятности f(Y/xi).
Очевидно, схема решающего устройства
определяется в основном видом этой
функции.
Рассмотрим
общий
случай
многоальтернативной
ситуации,
когда
полезный сигнал X может принимать т
значений.
Будем полагать помеху
 нормальной с
нулевым
математическим
ожиданием и
аддитивной. Следовательно, принимаемый
сигнал у
y(t)  x(t)   (t).
Для
любого
отсчетного
значения
принятого сигнала yi можно записать
yi  x i  i
где — отсчетные значения полезного
сигнала;  i — отсчетные значения помехи,
распределенные по нормальному закону
2 

1
 i 
f i  
exp  2 
2
 2  
2
Вектор
помехи
определяется
многомерным законом распределения
f 1 ,2 ,..., n  , где n — объем выборки.
Полагая
помеху
стационарной
и
отсчеты некоррелированными, можно
многомерный
закон
распределения
вектора помехи представить в виде
f 1 ,  2 ,...,  n   f 1  f  2 ,..., f  n  




n

2
n
i 



1 
 i 1 
exp 
2 
2 
2 
 2  


При взаимной независимости полезного
сигнала и помехи функция определяется
законом распределения помехи
n

2
n
 1 
   i 
 exp  i 1
f Y / X   


2 
 2 2 
2  






n

2
n
 1 
   yi  xi  
 exp  i 1



2
 2 2 
2 







Для принятия оптимального решения
необходимо
определить
отношения
правдоподобия
f Y / xk 
kj 

f Y / x j 

2
2
   yi  xij     yi  xki  
i 1
i 1
 exp 

2
2 




n
n
Общее Байесовськое выражение нахождения условной
вероятности появления информационного сигнала т.е.
соответствующей гипотезы Hk при условии принятого
информационного сигнала xk , примет вид, :
P( H k | Y ) 
P ( H k ) f (Y | H k )
n
 P( H ) f (Y | H )
i 1
i

i
n

2
n
   yk  j   xk  j  
 1 

 exp  j 1
P( H k )  


2
 2 2 
2




 




n

2
n
   yi  j   xi  j  
 1 
n
 j 1



P( H i ) 
exp 


2
2 

2

i 1



 2 


За информативный параметр принятого сигнала xk было
Si  j  , то расчет условной
спектральное представление
плотности вероятности распределения найдем по
формуле:

f Si  j  H k

N
1
 
e
j 1 2k

Sk  j mij 2
2 2k
где S i  j  – принятый сигнал, за информативный
параметр которого взято спектральное представление,
j – текущий номер спектральных составных каждого
S i   принятого сигнала ( j  1...N ),
– текущее значение номеру информационного
i
сигнала для множества гипотез i  1,..., N ( k  1,..., N ),
mij – математическое ожидание.
Тогда, учитывая выше изложенную формулу получим
общее Байесовськое выражение нахождения условной
вероятности появления информационного сигнала
1
N


P H k Si  j  

2k
j 1
N

S k  j  mij 2

e
1
e


i 1 j 1 2i
N
2 k2

S i  j  mij 2

2 i2
max