Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. c a, c a a b, a b / c c a b Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. A a b c M C aIIb, a c D №117. В тетраэдре АВСD ВС АD. Докажите, что АD MN, где М и N – середины ребер АВ и АС. ВС АD BC II MN N А M B C MN AD Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. a a Построение прямых углов на местности с помощью простейшего прибора, который называется экер Треножник с экером В Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли. А 1 О Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола. №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. Докажите, что АВ = ВD. По опр. АD AD ОВ A O С D В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD, ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. АD AD ОВ , AD ОС A O С D В №119. Прямая ОА OBC. Точка О является серединой отрезка АD. ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС. По опр. АD AD ОВ , AD ОС A O С D В №121. В треугольника АВС дано: С = 900, АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК = 12 см. Найдите КМ. По опр. КС ( АВС ) КС СМ К А 12 см 6см С М 8 см В №121. Еще один эскиз к задаче К 12 см 6см А С 8 см М В №120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, a сторона которого равна , проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b. По опр. К В КО ( АВС ) КО ОВ b С O А a a D Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. a a a1 Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a a b b a II b Обратная теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. a b M a b a II b c b1 АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника. По опр. МО ( АВС ) МО ОВ М 1 В А 3 O С Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ1 и СС1 , СС1=4, АС1= 209 0 АВ1= 33 , ВАС 60 . Найдите ВС. В С 4 В1 С1 33 А 209 ВВ1 СС1 Дано: ОМ ( АВС ) Дано: АВС –равносторонний треугольник со стороной 6 3 О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника. ОМ ( АВС ) АВСD – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата. М М 1 2 А В В 4 С 4 O 6 3 6 3 С O А 4 4 D №124. Прямая РQ параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Докажите, что РQ = P1Q1. Р Q РР1 QQ1 PP1IIQQ1 P1 Q1 ABCD – параллелограмм. BE (ABC), Доказать: (АВЕ) II (СDF) DF (ABC) Е (АВС) DF (АВС) ВЕ II DF F В А ВЕ С D AB II DC (ABЕ) II (CDF) №125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите Р1Q1. 15 Р 33,5 21,5 Q P1 Q1 По опр. РР1 РР1 Р1Q1 , РР1 QQ1 PP1IIQQ1