МОУ лицей №23. 20 сентября 2008 г. Занятие 2: «Аффинные задачи». Ф. Клейн. Существует особая группа преобразований, называемых аффинными. Аффинные преобразования – геометрические преобразования, при которых сохраняются прямолинейное расположение точек и отношение длин параллельных отрезков. Определение.: Aффинными называются cвойства фигур, сохраняющиеся при параллельном проектировании. 1)Теорема Менелая. Пусть три точки K, L, M лежат на прямых АВ, ВС, АС соответственно. Для того чтобы эти точки принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: AK BL CM 1 KB LC MA 2)Теорема Чевы. Пусть точки А1, В1,С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС. Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: АС1 ВА1 СВ1 1. С1 В А1С В1 А 3) В Δ ABC : N AC, AN NC; M AB, AM : MB 4 : 3, BP CK AC, BN MK P. Найти ? PN 4) В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение BF:FA. 5)В треугольнике АВС: AD — медиана, точка О — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А. 6)В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину угла А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите отношение длин оснований трапеции. 7)Точка N лежит на стороне АС треугольника АВС , причем AN: NC=2:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВN? 8)Точки М и N лежат на боковых сторонах трапеции АВСD и MN II AD. Найти MN, если BC=a, DA=5a, AM:MB=1:3. 9)Точки M и N на сторонах АВ и ВС треугольника АВС делят эти стороны в отношении АМ:МВ=1:3, ВN:NC=1:2. Найти: 1) чему равно отношение АО:ON? 2) в каком отношении прямая ВО делит сторону АС? 10) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и ВК, причем AК : КС = 3:4, ВD : DC = 4:5. Чему равно отношение АВ:ВС:СD?. 11)Точка К, лежит на стороне АС ,точка М — на стороне ВС треугольника АВС, причем АК : КС = 1 : 2, ВМ : МС = 1 : 3. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Найдите: 1) ВО : OК; 2) АО : ОМ 3) AD : DB, где D — точка пересечения MK и АВ.