Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. a p a p, p q a q, a Чтобы установить перпендикулярность прямой и плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум прямым, лежащим в плоскости. Рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О. a А P l q p m О Q L В aa1 q О p Случай, когда прямая a не проходит через точку О Докажите, что АО A 0 35 420 С 480 550 O В ABCD и ВMNС – два прямоугольника. Доказать: ВС (СDN) В M А Доказать: ВС DN С D N ABCD – прямоугольник. В треугольнике ВСМ сторона ВС = 6, СМ = 8, ВМ = 10. Доказать: ВС (СDN) В А 6 10 С D 8 M ABCD – ромб. Плоскость проходит через диагональ АС. Можно ли утверждать, что диагональ ВD будет перпендикулярна D плоскости ? А О F С Треугольник DOF прямоугольный ( О=900) ВD ? В Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD, где D – произвольная точка прямой АС. Дома №126. М А В D С Через точку О пресечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, МВ = МD. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскости параллелограмма. М Дома №128. В С O А D В треугольнике АВС сумма углов А и В равна 900. Прямая ВD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что СD АС. №127. D C B A Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите: а) ВD АМО, б) МО ВD. №129. M B C О A D Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что МВА = МВС = 900; МВ = m, АВ = n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых ВD и АС. №130. М m А D n n O В n С №131. D B В тетраэдре DABC точка М – середина BС, АB = АС, DВ = DC. Докажите, что плоскость треугольника АDМ перпендикулярна к прямой ВС. A M С АВСD – прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ВЕ = 15, ЕС = 24, ЕD = 20. Докажите, что треугольник ЕDС прямоугольный и найдите АЕ. Е СD AD, СD AED 20 24 D C СD АЕ 15 А В Точка А принадлежит окружности, АК – перпендикуляр к ее плоскости, АК = 1 см, АВ – диаметр, ВС – хорда окружности, составляющая с АВ угол 450. Радиус окружности равен 2 см. Докажите, что треугольник КСВ прямоугольный, и найдите КС. К СВ AС, СВ АК СВ AКС 1 С А 450 В 2 В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 900. Е ВС, ЕМ АВС. Докажите, что АС МВ. М Е B C A АВСD – параллелограмм. АD = 4, DС = 6, МС перпендикулярно плоскости АВС, МD АD. Найдите площадь параллелограмма. М АD МD, АD МС АD МСD С В 6 А 4 D АВС – равнобедренный треугольник, АВ = АС, точка D – середина ВС, ЕD (ABC). Доказать: 1) ВС (АDЕ), 2) ВС АЕ. Е В А D С АВСD – ромб, МD (ABC). Доказать: 1) AС (BMD), 2) AС MB. M D С А B АВСD – квадрат, ЕА ВС, К Доказать: ВС АК. Е ВЕ. K В А С D
